\(\def\C{\mathcal{C}}\)Vabbè, ho capito, lo faccio io.
Si tratta di determinare il quoziente di \(H=\coprod_{c\in\C}\hom_\C(c,c)\) (l'insieme degli
endomorfismi di \(\C\)) per la minima relazione di equivalenza generata da $s,t$ (con ciò intendendo la relazione $(s[u,f], t[u,f]) \subseteq H \times H$: è abbastanza ovvio che questa non è simmetrica né transitiva, cosicché bisogna considerarne la chiusura rispetto a queste due proprietà).
Ciò che si ottiene è che l'insieme degli endomorfismi di \(\C\) va quozientato per la relazione di equivalenza che identifica \(u : c \to c\) e \(v : c'\to c'\) se e solo se esiste una tupla di oggetti e morfismi come segue:
dove \(x_{i-1}\leftrightarrow x_i\) significa "esiste una freccia in una delle due direzioni".
La congettura che si può fare a questo punto è che il colimite cercato sia l'insieme delle
componenti connesse di \(\C^\to_e\), dove con \(\C^\to_e\) indico la sottocategoria piena della
categoria delle frecce \(\C^\to = {\bf Cat}({\bf 2}, \C)\) i cui oggetti sono i soli endomorfismi di \(\C\).
Si tratta allora di dimostrare che \(\int^c \hom_\C(c,c)\) e \(\pi_0(\C^\to_e)\) hanno la stessa proprietà universale; del resto, il secondo è definito esattamente come il coequalizzatore
\[
\hom(\C^\to_e) \underset{t}{\overset{s}\rightrightarrows} \text{obj}(\C^\to_e) \to \pi_0(\C^\to_e)
\] ed è questione di controllare che
- \(\hom(\C^\to_e) = \coprod_{c\to c'}\hom_\C(c,c)\);
- \(\text{obj}(\C^\to_e) = \coprod_{c\in\C}\hom_\C(c,c)\);
- Esiste una funzione \(p : \text{obj}(\C^\to_e) \to \int^c\hom_\C(c,c)\) che coequalizza \(s,t\);
- \(p\) è iniziale rispetto a questa proprietà.
Ciascuna di queste cose è facile. Ora, come corollario immediato, lo stesso ragionamento mostra che
\[
\int^c \hom_\C(Fc, Gc) \cong \pi_0\big((F\downarrow G)_e\big)
\] dove\((F\downarrow G)_e\) è la
comma degli endomorfismi, cioè la sottocategoria piena di
\((F\downarrow G)\) i cui unici oggetti sono endomorfismi di \(\C\).