francox ha scritto:Io ho capito cosi:
1. Esistono gruppi abeliani e non abeliani
2. I gruppi abeliani possono essere finiti e non finiti
3. I gruppi finiti possono essere abeliani e non abeliani
Si, questi tre sono veri.
francox ha scritto:4. Tutti i gruppi finiti sono costruiti dai gruppi semplici [simple groups] (letto su nLab)
Sinceramente non studierei su nLab prima di avere una conoscienza basilare di teoria di gruppi e altre strutture algebriche elementari. Per esempio i moduli. Un sito come quello è complesso anche per studenti magistrali in matematica. In matematica, capire parzialmente vuol dire non capire affatto.
Riguardo alla tua affermazione, è solo parzialmente corretta. Non userei il termine costruito comunque.
francox ha scritto:5. Tutti i gruppi abeliani hanno sottogruppi normali
Ogni gruppo ha sottogruppi normali, anche quelli semplici. Ogni gruppo non semplice ha sottogruppi normali propri e non banali (finiti o non finiti, abeliani o non abeliani).
Quello che immagino volessi dire è che
ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale. Cosa generalmente falsa al di fuori dei gruppi abeliani.
francox ha scritto:6. Il sottogruppo di un gruppo abeliano è sua volta abeliano.
Se ci pensi è piuttosto ovvio. Nota che ogni gruppo ha sottogruppi abeliani.
francox ha scritto:7. Esistono gruppi non abeliani che hanno sottogruppi normali, questi vengono chiamati gruppi hamiltoniani
I gruppi Hamiltoniani hanno la proprietà che ogni loro sottogruppo è normale. Dovresti stare attento ai quantificatori. Per la prima parte ho già commentato sopra.
francox ha scritto:8. A simple group is a nontrivial group whose only normal subgroups are the trivial group and the group itself.
Corretto. Perché in inglese?
francox ha scritto:9. Tutti i gruppi ciclici sono abeliani (non ho capito se questo è vero per i gruppi ciclici finiti e i gruppi ciclici infiniti)
Comincio ad avere l'impressione tu non sappia la definizione di gruppo abeliano
. Se non sei sicuro di questo fatto ti invito a dimostrarlo, richiede al massimo 3 righe. Nota che ogni gruppo semplice abeliano è ciclico (di ordine un primo).
francox ha scritto:Ho quindi tratto la conclusione che i sottogruppi normali giocano un ruolo chiave per essere "terreno comune" per poter evitare la distinzione tra i gruppi finiti e i gruppi abeliani puntando invece a parlare di un solo gruppo/sottogruppo che li generalizasse.
I gruppi normali sono essenziali per i gruppi in generale. Infatti il
kernel di ogni morfismo di gruppi è normale. Ti invito però a studiare i maniera più strutturata.
francox ha scritto:Ora, se non ho capito male, tutti i gruppi finiti sono semplici, ma dato che nella definizione di gruppo semplice parlano di sottogruppo normale e nella definizione di gruppo abeliano parlano anche li di sottogruppi normali..è possibile evitare di usare 3 termini diversi "finiti", "abeliani", "semplici" parlando soltanto di questi gruppi soltanto come "sono o hanno tutti questi gruppi (finiti, semplici, abeliano) sottogruppi normali?
Hai capito male. I gruppi semplici finiti sono stati tutti classificati (in quella che è probabilmente la dimostrazione più lunga della storia della matematica) e certamente non includono tutti i gruppi finiti.
francox ha scritto:Sto cercando di capire, il mio problema è che non è facile trovare un modo per dire tipo
a) il gruppo finito ha un sottogruppo normale
b) il gruppo semplice ha un sottogruppo normale
c) il gruppo abeliano ha un sottogruppo normale
Avranno questi gruppi, abeliani/non-abeliani, finiti/non-finiti, semplici, ciclici... tutti qualcosa in comune che mi permetta di dire "ecco! Tutti questi gruppi sono questo o hanno tutti in comune X struttura, quindi sono X ?
Nella mia richiesta mi interessava limitarmi ai gruppi finiti e abeliani..ma poi spunta fuori non-abeliani, non-finiti, ciclici, banali..ecco..avrei voluto evitarlo..
Hanno in comune la struttura di gruppo!?
Dovresti cercare di eliminare le tue lacune prima di cimentarti in generalizzazioni.