Ponte sospeso

I ponti sono strutture fondamentali per le vie di comunicazioni ed i primi esempi risalgono a più di tre millenni fa, in Grecia. Grandi costruttori di ponti furono i romani che ne realizzarono molti durante l’espansione dell’Impero. Uno di questi, nella Francia meridionale, è rimasto praticamente intatto: il Pont du Gard (che sorreggeva un acquedotto), riportato nella foto sotto.

Foto del ponte del Gard - Fonte Wikipedia
Ponte del Gard – Fonte Wikipedia

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L’opera, visitata dall’autore, è davvero imponente. Ancora oggi i francesi usano nel linguaggio quotidiano il detto: “… c’est un pont du Gard…” ad indicare un lavoro o un impegno di dimensioni immani. Un tributo alla maestria dei pontieri di epoca augustea ed alla potenza dell’Impero.

La tecnica degli architetti e ingegneri nella costruzione di ponti si è gradualmente evoluta, nel corso degli ultimi due secoli, con lo sviluppo di diversi tipi: a travata, ad arco, a telaio, strallato, sospeso. Lo sviluppo della teoria, delle tecnologie, dei materiali, hanno consentito di fare ponti di grande lunghezza, anche per collegare le isole al continente. Un esempio, non recentissimo ma imponente, è il ponte di Oresund. Lungo 16 km, collega la Svezia alla Danimarca (Malmö – Copenhagen).

In questo articolo desideriamo occuparci dei ponti sospesi.

Sviluppati ed ampiamente usati in USA, poi nel resto del mondo, sono particolarmente adatti per lunghe campate. L’esempio forse più famoso è il Golden Bridge, un ponte storico (1937) che attraversa la baia di San Francisco. Lungo 2,7 km è percorso ogni giorno da 100 mila veicoli e da migliaia di turisti.

Immagine del ponte Golden Gate a San Francisco (California/USA)
The Golden Gate Bridge in San Francisco, CA at sunset.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qui sotto vediamo un disegno schematico di un ponte sospeso.

Disegno schematico di un ponte sospeso

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Due pilastri limitano la campata centrale del ponte, che viene sostenuta da un cavo (vale a dire una grossa fune, in rosso nel disegno), per mezzo di numerosi tiranti (segmenti verticali, color arancio, che collegano il cavo al piano del ponte). Il cavo a sua volta è incernierato in cima ai pilastri e prosegue per ancorarsi profondamente nel terreno ai due lati del ponte tramite grossi plinti in cemento (viola). In questo modo viene scaricata sul terreno la componente orizzontale della spinta, così che i pilastri sono soggetti solo a compressione verticale.

Desideriamo determinare la forma geometrica della fune e studiare l’andamento della forza interna (tensione) che la percorre. Un tipico problema di statica.

Ma prima di far questo è necessario schematizzare la fune. La fune viene idealizzata come monodimensionale (i.e. di diametro trascurabile), perfettamente flessibile e inestensibile. Sulla base di questa ipotesi una fune soggetta a delle forze si piega raggiungendo una configurazione di equilibrio, tale che la forza interna (tensione) risulta sempre tangente al filo in ogni suo punto. Assegnata una fune in equilibrio sotto l’azione di una forza esterna distribuita uniformemente, se immaginiamo di tagliarla in due punti, per ristabilire l’equilibrio dovremo applicare delle forze ai due estremi: queste due forze ($T_1$ e $T_2$) sono esattamente le tensioni interne alla fune.

Rappresentazione di una fune

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nel disegno $S_x$ è la proiezione sulla asse x della lunghezza S del tratto di filo tagliato (in rosso, metri), w è la forza unitaria uniforme applicata per unità di lunghezza sull’asse x (N/metro) e dunque $wS_x$ è una forza(N). In questo esempio si è assunto che la forza uniforme sia verticale e diretta verso il basso, come è il caso del peso del ponte sorretto attraverso i tiranti. Come si è detto i tiranti sono numerosi, per distribuire efficacemente il carico del ponte. Idealmente supponiamo che siano in numero infinito, così da rendere la fune soggetta ad una forza esterna uniformemente distribuita.

Il disegno che abbiamo visto si riferiva ad un tratto di fune di lunghezza finita. Ovviamente può essere ripetuto per in tratto infinitesimo di lunghezza dS.

Rappresentazione di un tratto infinitesimo di una fune

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sia dS è la lunghezza del tratto infinitesimo di fune, dx è la sua proiezione sull’asse x, wdx la forza esterna (peso del ponte e dei veicoli in transito). Scriviamo l’equilibrio delle forze per il pezzetto di fune lungo la direzione orizzontale (asse x):

\[ T\cos(\theta) = (T+dT) \cos(\theta + d\theta) \]

Ora, approssimando con la serie di MacLaurin troncata al secondo termine, risulta:

\[ \cos(\theta + d\theta) = \cos(\theta) + d\theta \frac{d\cos(\theta)}{d\theta}= \cos(\theta) – \sin(\theta)d\theta \]

E sostituendo:

\[ T\cos(\theta) = T\cos(\theta) – T\sin(\theta)d\theta + \cos(\theta)dT-\sin(\theta)dTd\theta \]

Ora osserviamo che \(\sin(\theta)dTd\theta\) è un infinitesimo di ordine superiore, quindi a rigore trascurabile e che \[ -T\sin(\theta)d\theta+\cos(\theta)dT=d[T\cos(\theta)] \]

Ed infine sostituendo e semplificando otteniamo:

\[ d[T\cos(\theta)] = 0 \]

Sappiamo che se una derivata è nulla l’integrale è una costante, che chiameremo H:

\[ \begin{equation} T\cos(\theta) = H \tag{1} \label{eq:1} \end{equation} \]

Ora sappiamo che il termine \( T\cos(\theta) \) è la componente della tensione lungo l’asse x. Dunque, scopriamo che, mentre in generale, il vettore tensione è variabile lungo la fune, la sua componente orizzontale è costante.

Vediamo ora come si comporta la componente della tensione lungo l’asse y. Si impone l’equilibrio delle forze verticali:

\[ T\sin(\theta) + wdx = (T + dT) \sin(\theta + d\theta) \]

Anche qui, con uno sviluppo in serie analogo al precedente, avremo:

\[ \sin(\theta + d\theta) = \sin(\theta) + d\theta \frac{d\sin(\theta)}{d\theta}=\sin(\theta)+\cos(\theta)d\theta \]

Che può essere sostituita nell’equazione precedente:

\[ T\sin(\theta) + wdx = T\sin(\theta) + \sin(\theta) dT + T\cos(\theta) d\theta + \cos(\theta) d\theta dT \]

Che diventa:

\[ wdx = d(T\sin(\theta)) \]

Ora introducendo la (\(\ref{eq:1}\)) si ha:

\[ wdx = Hd\Big[\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\Big] = Hd\tan(\theta) \]

Come dire:

\[ \frac{w}{H} = \frac{d\tan(\theta)}{dx} \]

Ora noi sappiamo che, per la definizione di derivata, che: \( \tan(\theta) = \frac{dy}{dx} \) e quindi \( \frac{d\tan(\theta)}{dx} = \frac{d^y}{dx^2} \).

In conclusione:

\[ \begin{equation} \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{W}{H} \label{eq:2} \tag{2} \end{equation}\]

La (\(\ref{eq:2}\)) è una semplice equazione differenziale del 2° ordine che risolve in due step:

\[ \begin{equation} \frac{dy}{dx} = \frac{W}{H}x + k_1 \label{eq:3} \tag{3} \end{equation} \]

\[ \begin{equation} y(x) = \frac{W}{2H}x^2 + k_1x + k_2 \label{eq:4} \tag{4} \end{equation} \]

L’equazione della fune in equilibrio, in definitiva, è una parabola. Avrà dunque un punto di stazionarietà. Sappiamo dalla (\(\ref{eq:2}\)) che la sua derivata seconda è positiva, il che vuol dire che si ha un minimo relativo.

Se assumiamo come origine degli assi coordinati il vertice della parabola, risulta che la $y(x)$ e la sua derivata sono nulle nell’origine. Quindi \( k_1 = k_2 = 0 \).

La parabola funicolare è data da:

\[ \begin{equation} y(x) = \frac{w}{2H}x^2 \label{eq:5} \tag{5} \end{equation} \]

Ora imponiamo il passaggio della fune per le cerniere, in cima ai pilastri del ponte:

 

Grafico parabola funicolare

 

 

 

 

 

 

 

 

Sia $a$ (affondamento) la distanza verticale tra gli estremi ($A$ e $B$) della fune ed il suo vertice. Saranno inoltre \(–L/2\) e \(L/2\) le coordinate degli estremi della campata del ponte lungo l’asse $x$.

Facendo uso della (\(\ref{eq:5}\)) si ha: \( y_A = y_B = a = \frac{wL^2}{8H} \)

Ci resta ora da determinare la tensione T lungo la fune. Ricordiamo che per la definizione di derivata:

\[ \tan{\theta} = \frac{dy}{dx} \]

Ma conosciamo la derivata dalla (\(\ref{eq:3}\)), dove $ k_1 = 0 $: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{W}{H} x \]

Quindi:

\[ \begin{equation} \tan(\theta) = \frac{W}{H} x \tag{6} \label{eq:6} \end{equation} \]

Dalle formule di Trigonometria risulta:

\[ \begin{equation} \frac{1}{\cos(\theta)} = \sqrt{1+\tan^2(\theta)} \label{eq:7} \tag{7} \end{equation} \]

Ma dalla (\(\ref{eq:1}\)) abbiamo:

\[ \begin{equation} \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{T}{H} \label{eq:8} \tag{8} \end{equation} \]

Sostituendo le (\(\ref{eq:6}\)) e (\(\ref{eq:7}\)) nella (\(\ref{eq:8}\)):

\[ \frac{T}{H} = \sqrt{1+\Big(\frac{w}{H}X\Big)^2} \]

ed infine:

\[ \begin{equation} T = \sqrt{H^2 + (wx)^2} \label{eq:9} \tag{9} \end{equation} \]

Se vogliamo determinare la componente verticale di T:

\[ \begin{equation} V = \sqrt{T^2 – H^2} = wx \label{eq:10} \tag{10} \end{equation} \]

 

Grafico delle componenti della tensione T della fune

 

 

 

 

 

 

 

 

Riassumendo:

  • Funzione parabola: \( y(x) = \frac{w}{2H}x^2 = 4a\Big(\frac{x}{L}\Big)^2\)
  • Tensione (T) e sue componenti (orizzontale=H, verticale= V): \[ \begin{equation} T = \sqrt{H^2+V^2} = w \sqrt{\Big(\frac{L^2}{8a}\Big)^2+x^2} \label{eq:10a} \tag{10′} \end{equation} \] \[ V = wx \] \[ H = \frac{wL^2}{8a}\]

La grandezza fondamentale per il dimensionamento della fune è la tensione T. Come si vede dalla formula (\(\ref{eq:10a}\)), la funzione $T(x)$ ha un minimo (relativo) per $x=0$ che vale $H$ ed è massima per \(x = \mp \frac{L}{2} \) dove vale

\[ \begin{equation} T_{max} = T_A =T_B = wL \sqrt{\Big(\frac{L}{8a}\Big)^2+\frac{1}{4}}\label{eq:11} \tag{11} \end{equation} \]

Notiamo che la (\(\ref{eq:11}\)) è funzione crescente della lunghezza L, come è ovvio. Ed è funzione decrescente dell’affondamento $a$ , che è di poco inferiore all’altezza dei pilastri sopra il ponte. Il diametro del cavo sarà funzione crescente della \(T_{max}\).Sembra allora che per ridurre il diametro del cavo sia conveniente costruire pilastri molto alti. Tuttavia i pilastri sono, dal punto di vista statico, delle aste caricate, che presentano problemi di stabilità. Inoltre, possiamo immaginare che il costo dei pilastri sia crescente con la loro altezza, mentre il costo del cavo sia crescente con il diametro. Esiste quindi un compromesso tecnico/economico, riconducibile al rapporto \(\frac{a}{L}\). In pratica gran parte dei ponti sospesi che vengono costruiti hanno:

\[ \frac{1}{10} \lt \frac{a}{L} \lt \frac{1}{8} \]

La fune che sorregge il ponte deve, per quanto possibile, essere flessibile. Per questo è costituita da una matassa di numerosissimi fili di acciaio strettamente legati tra loro e avvolti a spirale, come da figura sotto:

Sezione fune d'acciaio

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La foto sotto riporta l’immagine e le caratteristiche del cavo che sorregge il Golden Gate Bridge

Sezione cavo d'acciaio del ponte Golden Gate a San Francisco

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Immagini dal sito: http://www.goldengatebridgesanfrancisco.com/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Le caratteristiche del cavo (diametro dei fili, loro numero e tipo di acciaio) sono determinate in modo che la sollecitazione agente su ogni filo sia inferiore ad un valore massimo stabilito dalla normativa.

Infine ci possiamo chiedere quanto è lungo il cavo. Si applica la formula(vedere Appendice):

\[ L_C = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+y'(x)^2}\, dx \]

Nel nostro caso abbiamo: \( y'(x) = 8\frac{a}{L^2} x \)

Allora:  \[ L_C = \int_{-\frac{L}{2}}^{+\frac{L}{2}} \sqrt{1+\Big(\frac{8a}{L^2}\Big)^2 x^2}\, dx = 2 \int_0^{\frac{L}{2}} \sqrt{1+\Big(\frac{8a}{L^2}\Big)^2x^2}\, dx \]

Posto \(k = \frac{8a}{L^2} \) diventa \( L_C = 2 \int_0^{\frac{L}{2}} \sqrt{1+ k^2 x^2}\, dx  = \frac{1}{k} \ln \Big[\frac{\sqrt{L^2k^2+4}+Lk}{2}\Big] + \frac{L}{k} \sqrt{L^2k^2+4} \)

Allegato all’articolo si trova un file EXCEL che mostra un semplice calcolo applicativo delle formule.

Naturalmente il calcolo reale di un ponte è molto più complesso e deve tenere conto di numerose altri elementi, fattori, variabili. E’ un argomento per specialisti.

APPENDICE 1: lunghezza arco di curva

Data una funzione $y = f(x) $, desideriamo calcolare la lunghezza di un suo arco compreso fra gli estremi $x_1$ e $x2$.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A tal fine consideriamo una parte infinitesima di tale arco di lunghezza $ds$, la cui proiezioni sugli assi coordinati sono $dx$ e $dy$. Per il teorema di Pitagora possiamo scrivere \(ds = \sqrt{dx^2+dy^2}\). In questo modo abbiamo approssimato l’arco infinitesimo$ds$ con il segmento che unisce i suoi estremi. Certo questa approssimazione comporta un errore, ma esso è un infinitesimo di ordine superiore, e quindi trascurabile. Ora sappiamo che $dy = f'(x)dx$ e che, sostituita nella precedente, produce:

\[ ds = \sqrt{dx^2+[f'(x)]^2dx^2} = \sqrt{1+[f'(x)]^2}\, dx \]

Ed Infine:

\[ s=\int_{x_1}^{x^2} \sqrt{1+[f'(x)]^2}\, dx \]

APPENDICE 2: Catenaria

Come abbiamo appena dimostrato il cavo che sorregge un ponte sospeso si distende secondo un arco di parabola. Tuttavia (quasi) tutti sappiamo che un filo appeso ai suoi estremi si distende secondo una curva denominata catenaria. La sua equazione fu determinata nel ‘600 dai famosi matematici Huygens, Leibniz e Bernoulli ed ha la seguente forma:

\[ y = a \cdot \cosh\Big(\frac{x}{a}\Big) = \frac{a}{2} \Big(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\Big)\]

Che è una funzione ben diversa dalla parabola. Pare quindi che ci sia una contraddizione con quanto sviluppato nell’articolo. Così non è in realtà, perché si tratta di due situazioni ben diverse.

Nel caso del ponte sospeso il cavo è sottoposto ad una forza verticale (idealmente uniforme) costituita dal peso del ponte e dei veicoli in transito (w, espresso come peso per unità di lunghezza lungo l’asse x, N/m). In tale situazione il peso proprio unitario del cavo (u, N/m) è trascurabile. Mentre il peso unitario w è costante per ogni punto x dell’asse del ponte.

Nel caso ben diverso della catenaria si considera un filo che si distende per il solo effetto del peso proprio del cavo. In questa situazione u è uniforme lungo il filo, mentre la sua proiezione sull’asse x, pari a uS/ Δx è variabile, come si vede chiaramente dal disegno sotto, dove a due tratti di cavo di uguale lunghezza ΔS (e quindi uguale peso) corrispondono le rispettive proiezioni sulla asse x (\(\Delta x_1 \mbox{ e } \Delta x_2\)) che sono ben diverse e pertanto hanno peso unitario diverso. In figura sotto \( w_1 = \frac{u\Delta S}{\Delta x_1} \lt \frac{u\Delta S}{\Delta x_2} = w_2 \)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

È quindi comprensibile che in questo caso, sviluppando l’equazione della statica del filo lungo la componente verticale, si ottenga un’equazione diversa che genera la formula della catenaria.

RIFERIMENTI

  1. https://it.wikipedia.org/wiki/Ponte_del_Gard;
  2. https://it.wikipedia.org/wiki/Ponte_di_%C3%98resund;
  3. https://it.wikipedia.org/wiki/Golden_Gate_Bridge;
  4. http://oldwww.unibas.it/utenti/laterza/Sito_1/Academic_Courses_files/6-Funi%20ed%20archi.pdf;
  5. http://www.dist.unina.it/doc/seminari/LLPP/Palazzo_Ponti.pdf;
  6. http://www.bath.ac.uk/ace/uploads/StudentProjects/Bridgeconference2011/papers/Daniel_Richards_-_Bridge_2_-_Clifton_Suspension_Bridge.pdf;
  7. http://www.madehow.com/Volume-5/Suspension-Bridge.html;
  8. http://media.nj.com/ledgerupdates_impact/photo/2014/04/george-washington-cable-roeblingjpg-e1dc1aa938e2acd8.jpg;
  9. Le foto dell’articolo sono tratte da Wikipedia.

 

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