Condizioni di esistenza
Talvolta un’espressione letterale può essere espressa mediante una frazione, e in questi casi occorre fare attenzione.
Sappiamo infatti, che una frazione in cui compaia zero al numeratore è accettabile, e il suo valore è proprio zero; mentre non ha significato una frazione con zero al denominatore.
Quindi, in tutte le espressioni di questo tipo:
\( \frac{x-1}{x}; \frac{2x+3}{x}; \frac{3x-1}{2x} \)
per dire che il denominatore, e quindi x, non può annullarsi, scriviamo \( x \neq 0 \), e diciamo che questa è la condizione di esistenza (C.E.) dell’espressione letterale.
Si possono presentare anche altri casi, in cui l’espressione appare in questo modo:
\[ \frac{x}{x+3} \]
In questo caso, dobbiamo capire quali valori di x fanno si che il denominatore sia 0, e notiamo che questo accade per \( x = – 3 \).
Un’altra situazione da considerare è quella in cui la nostra espressione letterale si trovi sotto una radice quadrata. Sappiamo, infatti, che non si possono avere numeri negativi sotto una radice con indice pari, quindi se troviamo delle lettere dentro una radice dobbiamo fare in modo che tutto ciò che vi è al di sotto sia positivo.
Per esempio, considerando \( \sqrt{3x} \) e volendo imporre che l’argomento della radice sia positivo, dobbiamo imporre che x sia positiva, quindi: \( x \gt 0 \).
In questo caso \( \sqrt{(x-1} \)quali sono i valori di x che rendono negativo l’argomento della radice? Provando a sostituire alcuni valori, notiamo che l’argomento è negativo per tutte le x più piccole di 1. Dobbiamo quindi imporre \{ x \gt 1 \).
Uso delle parentesi
Le espressioni letterali più complesse possono presentare diversi tipi di parentesi:
- Le parentesi tonde: ( );
- Le parentesi quadre: [ ];
- Le parentesi graffe: { };
Hanno la precedenza le parentesi tonde: per prima cosa, dobbiamo svolgere le operazioni, nel giusto ordine (prima le moltiplicazioni e le divisioni, poi le addizioni e le sottrazioni, nell’ordine in cui sono scritte); successivamente svolgiamo i calcoli nelle parentesi quadre, poi nelle graffe.
Valore numerico di un’espressione letterale
Vediamo ora alcuni esempi per determinare il valore numerico di un’espressione letterale. Per farlo, dobbiamo innanzitutto accertarci che l’espressione letterale sia accettabile per i valori delle lettere che ci vengono proposti, poi possiamo proseguire sostituendo i valori al posto delle lettere:
- esempio 1:
per \( a = 1 \) e \( b = 2 \)
\( +3a + (-5b) + (+4a) – (-8b) = \)
\( +3 \times 1 + ( -5 \times 2) + ( +4 \times 1 ) – ( -8 \times 2) = \)
\( 3 – 10 + 4 +16 = 13 \)
- esempio 2:
per \( a = 3 \) e \( b = -1 \)
\( a^2 + 3b^3 + 2a – b = 3^2 + 3 \times (-1)^3 + 2 \times 3 – 1 = \)
\( 9 -3 + 6 + 1 = 13 \)
- esempio 3
per \( a = 2 \) e \( b = 5 \)
\( \frac{3a+b}{b} + 5a \)
poiché \( b \neq 0 \) possiamo procedere:
\( = \frac{3 \times 2 + 5}{5} + 5 \times 2 = \frac{11}{5} + 10 = \frac{61}{5} \)
- esempio 4
per \( a = -2 \) e \( b = 1 \)
\( \sqrt{3a} + b^2 – 4a \)
Dato che “a” è un numero negativo, moltiplicando per un numero positivo otterremo sempre una quantità negativa sotto radice; di conseguenza, non possiamo proseguire e diciamo che l’espressione letterale è priva di significato.
- esempio 5:
\( \{[(3a+b)-(a+c)]\times[(a+b)-c][(b+c)\times a]\} = \)
\( \{[(3 \times 3 + 2)-(3+1)] \times [(3+2) – 1]\times [(2+1)\times 3]\} = \)
\( \{[(9+2) – (4)] \times [(5) -1] \times [3\times 3]\} = \)
\( \{(11-4) \times [5 -1] \times 9\} = \{7 \times 4 \times 9\} = 252 \)
Materiale di supporto