Il metodo di scomposizione di polinomi con Ruffini è meno immediato dei precedenti, quindi verrà utilizzato solo nei casi in cui non è possibile applicare gli altri. I polinomi su cui verrà applicato il metodo sono polinomi con un’unica lettera (x), che indicheremo con \( P(x) \).
Radici di un polinomio
Definiamo c come radice del polinomio \( P(x) \) se per \( x = c \) il polinomio assume il valore zero, cioè se sostituendo il valore \( c \) alla lettera \( x \) del polinomio, questo diventa il polinomio nullo; per questo motivo, ogni radice può anche essere definita zero del polinomio.
\[ c \text{ è radice di } P(x) \Leftrightarrow P(c) = 0 \]
Esempio: Consideriamo il polinomio \( P(x) = 2x^3 -+ x^2 – 13x + 6 \); possiamo affermare che il valore 2 è una radice del polinomio; per verificarlo, sostituiamo il valore alla x:
\( P(2) = 2 \cdot 2^3 + 2^2 – 13 \cdot 2 + 6 = 2 \cdot 8 + 4 – 26 + 6 = 16 + 4 – 26 + 6 = 0 \)
Possiamo verificare che anche \( -3 \) e \( \frac{1}{2} \) sono radici del polinomio;
procediamo come in precedenza:
\( P(-3) = 2 \cdot (-3)^3 + (-3)^2 – 13 \cdot (-3) + 6 = 2 \cdot (-27) + 9 + 39 + 6 = \)
\( -54 + 9 + 39 + 6 = 0 \)
\( P\Big(\frac{1}{2}\Big) = 2 \cdot \Big(\frac{1}{2}\Big)^3 + \Big(\frac{1}{2}\Big)^2 – 13 \cdot \frac{1}{2} + 6 = \)
\( 2 \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} – \frac{13}{2} + 6 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} – \frac{13}{2} + 6 = \)
\( \frac{1+1-26+24}{4} = \frac{0}{4} = 0 \)
Si può dimostrare che un polinomio di grado n ha al massimo n radici.
Per determinare le radici di un polinomio, quindi, diamo la seguente regola:
- Dato un polinomio in una variabile, a coefficienti interi, le sue eventuali radici intere sono da ricercare tra i divisori del termine noto.
Esempio: Nel caso del polinomio dell’esempio precedente,
\[ P(x) = 2x^3 + x^2 – 13x + 6 \]
avremmo dovuto cercare le sue radici fra i divisori di 6, che sono:
\(\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 6; \) sostituendoli poi alla ‘x’ del polinomio, avremmo stabilito quale fra esse è effettivamente uno zero del polinomio.
Esempio: Cerchiamo le radici del polinomio \( P(a) = 2a^2 – 3a – 2 \)
I divisori di 2 sono: \( \pm 1 \); \( \pm 2 \); proviamo a sostituirli nel polinomio:
\( P(1) = 2 \cdot 1^2 – 3 \cdot 1 – 2 = 2 – 3 – 2 = -3 \)
\( P(-1) = 2 \cdot (-1)^2 – 3 \cdot (-1) – 2 = 2 + 3 – 2 = 3 \)
\( P(2) = 2 \cdot 2^2 – 3 \cdot 2 – 2 = 8 – 6 – 2 = 0 \)
\( P(-2) = 2 \cdot (-2)^2 – 3 \cdot (-2) – 2 = 8 + 6 – 2 = 12 \)
Notiamo che solo nel caso \( a = 2 \) il polinomio si annulla, quindi solo 2 è radice del polinomio.
Generalizzando la regola vista prima, possiamo trovare anche redici razionali, se esistono di un polinomio; questo metodo ci permette anche di trovare quelle intere:
- Dato un polinomio ad una variabile a coefficienti interi, le eventuali radici razionali sono da ricercare tra i numeri del tipo \( \pm \frac{m}{n} \) dove \( m \) è un divisore del termine noto, e \( n \) un divisore del coefficiente del termine di grado massimo.
Teorema del resto
Il resto della divisione di un polinomio \( P(x) \) per il binomio \( x – c \) è uguale al valore che il polinomio assume per \( x = c \), cioè: \( R = P(c) \).
E’ importante, però, notare che:
- Il divisore \( x – c \) abbia coefficiente del termine in x di primo grado uguale a 1;
- Il resto della divisione è un numero: infatti il resto di una divisione fra due polinomi è un polinomio di grado inferiore al grado del divisore, che in questo caso ha grado 1; quindi, il grado del resto è zero.
Esempio: Per calcolare il resto della divisione tra il polinomio
\( P(x) = 3x^3 + 4x^2 – 5x + 7 \) per il binomio \( x – 2 \), non è necessario svolgere tutta la divisione; possiamo semplicemente applicare il teorema, e calcolare \( P(2) \):
\( R = P(2) = 3 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^2 – 5 \cdot 2 + 7 = 3 \cdot 8 + 4 \cdot 4 – 10 + 7 = 24 + 16 – 10 + 7 = 37 \)
Possiamo effettuare la divisione classica, e verificare il risultato:
Notiamo che anche in questo caso il resto è 37.
Teorema di Ruffini
Sappiamo che, se un polinomio \( P(x) \) è divisibile per un binomio \( x – c \), allora il resto di tale divisione è zero (\( R = 0 \)) ; poiché, per il teorema del resto, \( R = P(c) \), avremmo che \( P(c) = 0 \); quindi, ricapitolando:
\[\color{blue}{P(x) \text{ divisibile per } (x – c) \Rightarrow P(c) = 0} \]
Questa affermazione si può anche formulare tramite il concetto di radice di un polinomio, cioè:
\[\color{blue}{P(x) \text{ divisibile per } (x – c) \Rightarrow \text{ c’è radice di } P(x)} \]
Vale anche il viceversa: se \( P(c) \), cioè se c è una radice del polinomio \( P(x) \), allora, per il teorema del resto, si ha che \( R = P(c) \), e quindi il polinomio \( P(x) \) è divisibile per \( x – c \):
\[ \color{blue}{P(c) = 0 \Rightarrow P(x) \text{ divisibile per } (x – c)} \]
similmente:
\[ \color{blue}{c \text{ è radice di } P(x) \Rightarrow P(x) \text{ divisibile per } (x – c)} \]
Il teorema di Ruffini afferma che il polinomio \( P(x) \) è divisibile per il binomio \( x – c \) se e solo se \( P(c) \), cioè se c è una radice del polinomio \( P(x) \).
\[ \color{maroon}{P(x) \text{ divisibile per } (x – c) \Leftrightarrow P(c) = 0} \]
Vediamo quindi i passaggi da eseguire per scomporre in fattori un polinomio applicando il teorema di Ruffini:
- Si ricerca una radice di \( P(x) \), cioè un numero c per cui \( P(c) = 0 \);
- Se c è una radice di \( P(x) \), allora il polinomio è divisibile per \( (x – c) \); si determina quindi il quoziente \( Q(x) \) di tale divisione;
- Per definizione di divisione fra polinomi, possiamo scrivere: \( P(x) = Q(x) \cdot (x – c) \)
- Se anche \( Q(x) \) è scomponibile in fattori, si applica lo stesso procedimento per scomporlo;
- Giungeremo, alla fine, ad ottenere il prodotto di un certo numero di polinomi non più scomponibili; il polinomio di partenza è stato, quindi, scomposto in fattori.
Esempio: Scomponiamo in fattori il polinomio \( P(x) = 3x^2 + 5x – 2 \).
Cerchiamo le radici del polinomio fra i divisori di 2: \( \pm 1; \pm 2 \):
\( P(1) = 3 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 – 2 = 3 + 5 – 2 = 6 \)
\( P(-1) = 3 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) – 2 = 3 – 5 – 2 = – 4 \)
\( P(2) = 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 – 2 = 12 + 10 – 2 = 20 \)
\( P(-2) = 3 \cdot (-2)^2 + 5 \cdot (-2) – 2 = 12 – 10 – 2 = 0 \)
L’unica radice del polinomio è -2; il polinomio è quindi divisibile per \( (x + 2) \); dobbiamo quindi effettuare la divisione fra \( P(x) \) e \( (x + 2) \):
Otteniamo quindi \( Q(x) = 3x – 1 \) , e \( R = 0 \). Poiché \( Q(x) \) è di primo grado, e non è quindi scomponibile, il polinomio \( P(x) \) risulta essere scomposto in fattori in questo modo:
\( P(x) = Q(x) \cdot (x + 2) = (3x – 1) (x + 2) \)
Altre risorse utili
Esercizi sulla divisione di polinomi, regola di Ruffini e teorema del resto.