Somma di polinomi
E’ possibile calcolare la somma di due polinomi, cioè addizionare due polinomi, scrivendo di seguito i polinomi, racchiusi fra parentesi tonde, interponendo fra essi un segno “+”.
Per esempio, considerando i polinomi \( 3x^2 + 4xy – 2y^2 \) e \( x^3 + 4x^2 – 6y^2 + 4 \) possiamo calcolare la loro somma in questo modo:
\( \color{red}{(} 3x^2 + 4xy – 2y^2 \color{red}{) + (} x^3 + 4x^2 – 6y^2 + 4 \color{red}{)} \)
Si procede poi eliminando le parentesi:
\( 3x^2 + 4xy – 2y^2 + x^3 + 4x^2 – 6y^2 + 4 \)
e semplificando il polinomio:
\( 3x^2 + 4xy – 2y^2 + x^3 + 4x^2 -6y^2 + 4 = 7x^2 + 4xy – 8y^2 + x^3 + 4 \)
Differenza di polinomi
E’ possibile calcolare la differenza di due polinomi, cioè sottrarre due polinomi, scrivendo i polinomi uno di seguito all’altro, racchiusi fra parentesi tonde, interponendo fra essi un segno “-”.
Per esempio, considerando gli stessi polinomi dell’esempio precedente, \( 3x^2 + 4yx – 2y^2 \) e \( x^3 + 4x^2 – 6y^2 + 4 \) calcoliamo la loro differenza in questo modo:
\( \color{red}{(} 3x^2 + 4xy – 2y^2 \color{red}{) – (} x^3 + 4x^2 – 6y^2 + 4 \color{red}{)} \)
Eliminiamo le parentesi, ricordandoci che dobbiamo cambiare segno ai termini del secondo polinomio:
\( 3x^2 + 4xy – 2y^2 \color{red}{-} x^3 \color{red}{-} 4x^2 \color{red}{+} 6y^2 \color{red}{-} 4 \)
semplifichiamo il polinomio:
\( 3x^2 + 4xy – 2y^2 – x^3 – 4x^2 + 6y^2 – 4 = – x^2 + 4xy + 4y^2 – x^3 – 4 \)
Somma algebrica di polinomi
In generale, quindi, riferendoci alla somma o alla differenza fra polinomi, parliamo di somma algebrica di polinomi.
Ricordiamo che un polinomio stesso rappresenta la somma algebrica di più monomi, quindi le espressioni letterali che si ottengono indicando la somma o la differenza fra polinomi sono ancora somme algebriche di monomi, sono cioè polinomi.
Diamo ora delle regole generali per affrontare la somma algebrica di polinomi e semplificare la scrittura. Considerando un polinomio racchiuso fra due parentesi tonde, possiamo agire in questo modo:
- se la prima parentesi tonda è preceduta dal segno “+”, si riscrivono i termini contenuti nella coppia con il loro segno;
- Se la prima parentesi è preceduta dal segno “-“, si riscrivono i termini contenuti nella coppia con il segno cambiato.
- Eliminate le parentesi, si può procedere riducendo il polinomio a forma normale, individuando i monomi simili, e riducendoli.
Questo procedimento si può applicare per calcolare la somma di due, tre, o più polinomi contemporaneamente.
Possiamo inoltre precisare che:
- La differenza fra due polinomi è la somma del primo con l’opposto del secondo;
\( \color{red}{(} 2a^2 – 3b + c^3 \color{red}{) – (} 2a^2 – 3b + c^3 \color{red}{)} = \)
\( \color{red}{(} 2a^2 – 3b + c^3 \color{red}{) + (} -2a^2 + 3b – c^3 \color{red}{)} \)
- La somma di due polinomi opposti è il polinomio nullo, cioè 0;
\( \color{red}{(} 2a^2 – 3b + c^3 \color{red}{) + (} -2a^2 + 3b – c^3 \color{red}{)} = \)
\( 2a^2 – 3b + c^3 – 2a^2 +3b – c^3 = 0 \)
- La differenza di due polinomi uguali è il polinomio nullo, cioè 0;
\( \color{red}{(} 2a^2 – 3b + c^3 \color{red}{) – (} 2a^2 – 3b + c^3 \color{red}{)} = \)
\( 2a^2 – 3b + c^3 – 2a^2 + 3b – c^3 = 0 \)
Grado del polinomio somma
Il grado del polinomio ottenuto dalla somma o dalla differenza di due o più polinomi è minore o uguale al maggiore tra i gradi dei polinomi che costituiscono i termini della somma.
Il fatto che il grado del polinomio ottenuto sia più piccolo di quello dei polinomi di partenza è facilmente intuibile: non essendoci un prodotto, ma solo una somma algebrica, non è possibile che il grado di una lettera aumenti, perché ciò avviene solo grazie alla regola delle potenze, che prevedono la somma degli esponenti se due potenze con la stessa base vengono moltiplicate.
Il grado del polinomio può rimanere uguale nel caso in cui i termini dei monomi addendi vengano sommati o sottratti, senza che nessuno “scompaia”.
Nel caso in cui, invece, vengano sottratti due polinomi uguali, o vengano sommati due polinomi opposti, se in questi è presente un monomio di grado massimo, allora il grado del polinomio somma è minore del grado dei polinomi addendi.
Vediamo qualche esempio:
- Consideriamo i polinomi \( 2a^2 – 3b + c \) e \( -a^3 + 4b – 3 \); il primo polinomio ha grado 2, il secondo ha grado 3; calcoliamo la loro somma:
\( (2a^2 – 3b + c ) + ( -a^3 + 4b – 3) = 2a^2 – 3b + c -a^3 + 4b – 3 = \)
\( 2a^2 + b + c – a^3 – 3 \)
Il polinomio ottenuto ha grado 3, che è uguale al maggiore dei gradi dei polinomi addendi.
- I polinomi \( (2x^2 – 3xy + x^3z + 1) \) e \( (5xy^2 + 2x – x^3z) \)sono polinomi di grado 4;
calcoliamo la loro somma
\( (2x^2 – 3xy + x^3z + 1) + (5xy^2 + 2x – x^3z) = \)
\( 2x^2 – 3xy + x^3z + 1 + 5xy^2 + 2x – x^3z = \)
\( 2x^2 – 3xy + 5xy^2 + 2x + 1 \)
Il polinomio ottenuto ha grado 3, minore del grado dei polinomi di partenza; abbiamo infatti eliminato il termine \( x^3z \) che costituiva per entrambi il termine di grado massimo.
Materiale di supporto
Esercitazione interattiva sulle operazioni con i polinomi.