In base alla definizione di derivata, è possibile calcolare le derivate di diverse funzioni; vediamo come calcolare le derivate delle funzioni elementari.
Derivata della funzione costante y = c
Consideriamo la funzione costante di equazione $ f(x) = c $, dove $ c $ è appunto una costante. Applicando la definizione di derivata, e calcolando il valore del rapporto incrementale, notiamo che questo è uguale a zero. Quindi, sarà zero anche il suo limite:
\[ \displaystyle \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta \rightarrow 0} 0 = 0 \]
Quindi, possiamo affermare che la derivata della funzione costante è sempre uguale a zero:
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = c \rightarrow y’ = 0}}} \]
In particolare, poiché la derivata di una funzione corrisponde al coefficiente angolare della tangente al grafico della funzione, possiamo affermare che il coefficiente angolare della tangente al grafico della funzione $ y = c $ in ogni suo punto è zero.
Derivata della funzione variabile indipendente y = x
Consideriamo ora la funzione $ f(x) = x $; calcolando il rapporto incrementale della funzione, ci accorgiamo che questo è uguale a 1; quindi, il limite del rapporto incrementale è dato da:
\[ \displaystyle \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} 1 = 1 \]
Concludiamo quindi che la derivata della variabile indipendente è uguale a 1:
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = x \rightarrow y’ = 1}}} \]
Ciò significa che il coefficiente angolare della tangente alla retta di equazione $ y = x $, cioè alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, è uguale a 1.
Derivata della funzione potenza n-esima $ y = x^n $
Applichiamo lo stesso ragionamento per la funzione esponenziale, $ y = f(x) = x^n $, con $ n $ intero e positivo. In questo caso, il rapporto incrementale della funzione è dato da:
\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{(x+h)^n-x^n}{h} \)
Svolgendo i calcoli, abbiamo:
\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{x^n+nx^{n-1}+h+\ldots + m_{n-1}xh^{n-1}+h^n-x^n}{h} = nx^{n-1} + \ldots+m_{n-1}xh^{n-2}+h^{n-1} \)
Quindi, calcolando il limite per h che tende a zero, abbiamo che:
\( \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (nx^{n-1}+\ldots+m_{n-1}xh^{n-2}+h^{n-1}) = nx^{n-1} \)
Generalizzando, possiamo affermare che la derivata della funzione potenza n-esima, e quindi il coefficiente angolare delle tangenti alle funzioni di equazioni $ y = x^n $, è data da:
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y=x^n \rightarrow y’=nx^{n-1}\,\,\, , \,\,\, n \in \mathbb{N_0}}}} \]
Derivata della funzione radice quadrata $ y = \sqrt{x} $
Consideriamo la funzione radice quadrata, $ y = f(x) = \sqrt{x} $; calcoliamo il suo rapporto incrementale:
\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \)
Razionalizzando, e svolgendo i calcoli, otteniamo:
\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} \)
Calcoliamo, ora, il limite del rapporto incrementale per h che tende a zero:
\( \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
Quindi, possiamo riassumere affermando che la derivata della funzione radice quadrata, che corrisponde al coefficiente angolare della tangente al grafico di equazione $ y = \sqrt{x} \), è data da:
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y=\sqrt{x} \rightarrow y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}}}} \]
Derivata delle funzioni \( y = \sin x \) e \( y = \cos x \)
Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione \( y = f(x) = \sin x \):
\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} \)
applicando al numeratore una delle formule di prostaferesi, otteniamo che:
\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cdot \cos\Big( x + \frac{h}{2}\Big) \)
Se calcoliamo ora il limite del rapporto incrementale per h che tende a zero, otteniamo \( \cos x \), in quanto il primo fattore del rapporto incrementale può essere ricondotto al limite notevole \( sinx/x \):
\( \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cdot \cos \Big( x + \frac{h}{2} \Big) = \cos x \)
Concludiamo, quindi, che la derivata di \( \sin x \) è \( \cos x \):
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = \sin x \rightarrow y’ = \cos x}}} \]
Con ragionamenti analoghi, e seguendo lo stesso procedimento, possiamo calcolare la derivata della funzione \( y = \cos x \), che vale \( -\sin x \):
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = \cos x \rightarrow y’ = -\sin x}}} \]
Derivata della funzione logaritmica
Consideriamo la seguente funzione logaritmica:
\( y = f(x) = \log_a x \,\,\,\, , \,\,\,\, a \in \mathbb{R^{+}} – \{1\} \)
Anche in questo caso, calcoliamo il valore del rapporto incrementale:
\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h} \)
Sfruttando le proprietà dei logaritmi, la scrittura precedente può essere trasformata nella seguente:
\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{x} \log_a \Big( 1 + \frac{h}{x}\Big)^{\frac{x}{h}} \)
Volendo calcolare il suo limite per h che tende a zero, dobbiamo effettuare un cambio di incognita, ponendo $ z = x/h $, quindi:
\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{x} \log_a \Big( 1 + \frac{1}{z} \Big)^z \)
Calcolando il suo limite, per z che tende a infinito, abbiamo che:
\( \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{z \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \log_a \Big( 1 + \frac{1}{z} \Big)^z = \frac{1}{x} \log_a e \)
Riassumendo, la derivata della funzione logaritmica, e quindi il coefficiente angolare della retta ad essa tangente, è data da:
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = \log_a x \rightarrow y’ = \frac{1}{x} \log_a e = \frac{1}{x \cdot \log a} }}} \]
In particolare, se $a = e$, abbiamo:
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = \log x \rightarrow y’ = \frac{1}{x}}}} \]
Derivata della funzione esponenziale $y = a^x$
Consideriamo la funzione esponenziale $ y = a^x $, con $ a $ positivo, e calcoliamo il suo rapporto incrementale:
\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \)
Calcolando il limite per h che tende a zero, abbiamo che:
\( \displaystyle \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^x (a^h-1)}{h} = a^x \cdot \log a \)
Quindi, possiamo riassumere affermando che la derivata della funzione esponenziale, e quindi il coefficiente angolare della retta ad essa tangente, è data da:
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = a^x \rightarrow y’ = a^x \cdot \log a}}} \]
In particolare, se $ a = e $, abbiamo:
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y=e^x \rightarrow y’=e^x}}} \]
Tabella delle derivate elementari
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = c \rightarrow y’ = 0}}}\]
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = x \rightarrow y’ = 1}}}\]
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = x^n \rightarrow y’ = nx^{n-1} \,\,\,\, , \,\,\,\, n \in \mathbb{N_0}}}}\]
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = \sqrt{x} \rightarrow y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}}}}\]
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = \sin x \rightarrow y’ = \cos x}}}\]
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = \cos x \rightarrow y’ = -\sin x}}}\]
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = \log_a x \rightarrow y’ = \frac{1}{x} \log_a e = \frac{1}{x \cdot \log a} }}}\]
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = \log x \rightarrow y’ = \frac{1}{x}}}}\]
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = a^x \rightarrow y’ = a^x \cdot \log a}}}\]
\[ \color{red}{\boxed{\color{blue}{y = e^x \rightarrow y’ = e^x}}}\]