La legge di Boyle e i gas perfetti

La legge di Boyle

Consideriamo un gas contenuto in un cilindro mantenuto a temperatura costante, ad esempio immerso in un liquido che permette di mantenere la stessa temperatura quando vi è uno scambio di calore.

Se facciamo variare il volume del gas, aggiungendo o togliendo dei pesi dal pistone, notiamo che la pressione diminuisce o aumenta in modo inversamente proporzionale alla variazione di volume.

Quindi, dimezzando il volume del gas, la sua pressione raddoppia; raddoppiando il volume del gas, la sua pressione si dimezza.

Se il gas viene compresso molto lentamente, la sua temperatura si mantiene costante; altrimenti una compressione determina un aumento della temperatura stessa.

Il comportamento del gas è descritto dalla legge di Boyle:

$p * V = p_1 * V_1 $

La legge di Boyle, quindi, stabilisce che, a temperatura costante, il prodotto del volume di un gas per la sua temperatura rimane costante.

 

I gas perfetti 

In fisica, molto spesso, è conveniente utilizzare un modello di gas che si adatti a delle specifiche condizioni. I gas reali, cioè quelli con cui abbiamo a che fare nel quotidiano, spesso non soddisfano determinate proprietà, e le leggi che abbiamo appena visto non descrivono il loro comportamento.

Per questo, è utile considerare una categoria di gas, che vengono definiti ideali, e sono quelli che soddisfano le due leggi di Gay-Lussac e quella di Boyle. Questi gas, in particolare, devono essere rarefatti, e la loro temperatura deve essere lontana da quella di liquefazione del gas.

Per questo tipo di gas, è possibile sintetizzare le tre leggi precedenti in un’unica legge, che viene definita equazione di stato dei gas perfetti, e che mette in relazioni le tre grandezze fondamentali dei gas: temperatura, volume e pressione:

$p * V = (frac(p_0 * V_0)(T_0)) * T $

E’ stato dimostrato che, per un gas perfetto, a pressione e temperatura fissati, il volume del gas è direttamente proporzionale al numero di moli del gas.

Ricordiamo che per mole si definisce la quantità di sostanza che contiene un numero di Avogadro di particelle ( $6,022 10^23$ ); o anche la quantità di una sostanza che ha massa numericamente uguale al suo peso atomico o molecolare.

La quantità tra parentesi può essere espressa dal prodotto del numero di moli (n) per la costante R, detta costante universale dei gas, che vale:

$ R = 8,31 frac(J)(mol * K) = 0,0821 frac(L * atm)(K * mol) $

L’equazione di stato dei gas perfetti, quindi, assume la seguente espressione:

$ p * V = n * R * T $

Notiamo, quindi, che la pressione e il volume sono direttamente proporzionali al numero di particelle contenute nel gas e alla temperatura (in K) del gas.

Dall’equazione si può ricavare una condizione particolare, che prende il nome di legge di Avogadro. Ricaviamo dall’equazione precedente il numero di moli n:

$ n = frac(p * V)(R * T) $

La legge di Avogadro afferma che volumi uguali di gas diversi, in condizioni di temperatura e pressione uguali, contengono lo stesso numero di particelle.

In particolare, è bene tenere in considerazione che in condizioni normali, cioè alla temperatura di 0°C e alla pressione di 1 atm, una mole di un gas qualsiasi occupa il volume di 22,4 litri.

 

Esercizio

Un gas alla temperatura di 15°C e alla pressione di  $1,1 * 10^5 Pa$  contiene 1,5 moli di gas. Dopo che il gas viene riscaldato, e subisce una trasformazione isobara, il volume che esso occupa è di 38 L. Calcolare il volume iniziale del gas e la sua temperatura finale.

Dall’equazione di stato dei gas perfetti possiamo ricavare il valore del volume iniziale del gas:

$ p * V = n * R * T        to       V = frac(n * R * T)(p)$

Prima di procedere con i calcoli, però, dobbiamo trasformare i dati nelle giuste unità di misura:

$ t = 15° C       to       T = 15 + 273 = 288 K $

$ p = 1,1 * 10^5 Pa = 1,089 atm $

Notiamo che, con le unità di misura che abbiamo scelto, il valore della costante R che dobbiamo utilizzare è il secondo che abbiamo dato.

Possiamo, ora, procedere con i conti:

$  V = frac(n * R * T)(p) =  frac(1,5 * 0,0821 * 288)(1,089) = 32,6 L $

Sapendo, poi, che il volume finale del gas è di 38 L, che la trasformazione avviene a pressione costante, e che il numero di moli resta invariato, possiamo applicare la stessa equazione per ricavare il valore della temperatura finale del gas:

$ T_f = frac(p * V)(n * R) = frac(1,089 * 38)(1,5 * 0,0821) = 336 K = 63° C$

 

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