La legge di Boyle
Consideriamo un gas contenuto in un cilindro mantenuto a temperatura costante, ad esempio immerso in un liquido che permette di mantenere la stessa temperatura quando vi è uno scambio di calore.
Se facciamo variare il volume del gas, aggiungendo o togliendo dei pesi dal pistone, notiamo che la pressione diminuisce o aumenta in modo inversamente proporzionale alla variazione di volume.
Quindi, dimezzando il volume del gas, la sua pressione raddoppia; raddoppiando il volume del gas, la sua pressione si dimezza.
Se il gas viene compresso molto lentamente, la sua temperatura si mantiene costante; altrimenti una compressione determina un aumento della temperatura stessa.
Il comportamento del gas è descritto dalla legge di Boyle:
$p * V = p_1 * V_1 $
La legge di Boyle, quindi, stabilisce che, a temperatura costante, il prodotto del volume di un gas per la sua temperatura rimane costante.
I gas perfetti
In fisica, molto spesso, è conveniente utilizzare un modello di gas che si adatti a delle specifiche condizioni. I gas reali, cioè quelli con cui abbiamo a che fare nel quotidiano, spesso non soddisfano determinate proprietà, e le leggi che abbiamo appena visto non descrivono il loro comportamento.
Per questo, è utile considerare una categoria di gas, che vengono definiti ideali, e sono quelli che soddisfano le due leggi di Gay-Lussac e quella di Boyle. Questi gas, in particolare, devono essere rarefatti, e la loro temperatura deve essere lontana da quella di liquefazione del gas.
Per questo tipo di gas, è possibile sintetizzare le tre leggi precedenti in un’unica legge, che viene definita equazione di stato dei gas perfetti, e che mette in relazioni le tre grandezze fondamentali dei gas: temperatura, volume e pressione:
$p * V = (frac(p_0 * V_0)(T_0)) * T $
E’ stato dimostrato che, per un gas perfetto, a pressione e temperatura fissati, il volume del gas è direttamente proporzionale al numero di moli del gas.
Ricordiamo che per mole si definisce la quantità di sostanza che contiene un numero di Avogadro di particelle ( $6,022 10^23$ ); o anche la quantità di una sostanza che ha massa numericamente uguale al suo peso atomico o molecolare.
La quantità tra parentesi può essere espressa dal prodotto del numero di moli (n) per la costante R, detta costante universale dei gas, che vale:
$ R = 8,31 frac(J)(mol * K) = 0,0821 frac(L * atm)(K * mol) $
L’equazione di stato dei gas perfetti, quindi, assume la seguente espressione:
$ p * V = n * R * T $
Notiamo, quindi, che la pressione e il volume sono direttamente proporzionali al numero di particelle contenute nel gas e alla temperatura (in K) del gas.
Dall’equazione si può ricavare una condizione particolare, che prende il nome di legge di Avogadro. Ricaviamo dall’equazione precedente il numero di moli n:
$ n = frac(p * V)(R * T) $
La legge di Avogadro afferma che volumi uguali di gas diversi, in condizioni di temperatura e pressione uguali, contengono lo stesso numero di particelle.
In particolare, è bene tenere in considerazione che in condizioni normali, cioè alla temperatura di 0°C e alla pressione di 1 atm, una mole di un gas qualsiasi occupa il volume di 22,4 litri.
Esercizio
Un gas alla temperatura di 15°C e alla pressione di $1,1 * 10^5 Pa$ contiene 1,5 moli di gas. Dopo che il gas viene riscaldato, e subisce una trasformazione isobara, il volume che esso occupa è di 38 L. Calcolare il volume iniziale del gas e la sua temperatura finale.
Dall’equazione di stato dei gas perfetti possiamo ricavare il valore del volume iniziale del gas:
$ p * V = n * R * T to V = frac(n * R * T)(p)$
Prima di procedere con i calcoli, però, dobbiamo trasformare i dati nelle giuste unità di misura:
$ t = 15° C to T = 15 + 273 = 288 K $
$ p = 1,1 * 10^5 Pa = 1,089 atm $
Notiamo che, con le unità di misura che abbiamo scelto, il valore della costante R che dobbiamo utilizzare è il secondo che abbiamo dato.
Possiamo, ora, procedere con i conti:
$ V = frac(n * R * T)(p) = frac(1,5 * 0,0821 * 288)(1,089) = 32,6 L $
Sapendo, poi, che il volume finale del gas è di 38 L, che la trasformazione avviene a pressione costante, e che il numero di moli resta invariato, possiamo applicare la stessa equazione per ricavare il valore della temperatura finale del gas:
$ T_f = frac(p * V)(n * R) = frac(1,089 * 38)(1,5 * 0,0821) = 336 K = 63° C$
Potrebbero interessarti
Appunti: Trasformazioni dei gas e Leggi di Gay-Lussac