Scheda che introduce l’insieme universo e l’insieme ambiente. La scheda è corredata di diversi esempi.
L’insieme universo
Definizione
Si chiama insieme universo quell’insieme che contiene tutti gli insiemi e tutti gli elementi esistenti. Tale insieme è indicato con U.
Osservazione
L’insieme universo, dovendo contenere tutti gli insiemi, contiene, oltre a \( \varnothing \), anche se stesso.
Generalmente l’insieme universo viene rappresentato, attraverso la rappresentazione grafica, come un rettangolo all’interno del quale si disegnano tutti i suoi elementi.
L’insieme ambiente
A volte può capitare di dover considerare degli insiemi o degli elementi di un certo tipo, e soltanto essi. Per esempio, se si deve risolvere un problema matematico, alcuni insiemi, come l’insieme \( C \) dei cantanti potrebbero non servire a nulla, così come alcuni elementi, e non è dunque necessario considerarli. È conveniente allora prendere soltanto gli elementi e gli insiemi di cui si ha bisogno: essi costituiscono una sorta di insieme universo adattato al problema considerato, l’ambiente nel quale si lavora.
Definizione
L’insieme ambiente è l’insieme di tutti e soli gli elementi e di tutti e soli gli insiemi che si considerano in un determinato problema.
Esempi
– Dato il problema “Trovare i divisori positivi di 68”, non è necessario considerare tutti i numeri possibili, ma basterà utilizzare come insieme ambiente l’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali.
– Dato il problema “Trovare tutte le parole di quattro cifre che hanno senso compiuto” basterà utilizzare come insieme ambiente l’insieme \( A \) delle lettere dell’alfabeto.
– Dato il problema “Trovare tutte le possibili classifiche finali del campionato di calcio” basterà utilizzare come insieme ambiente l’insieme \( S \) delle squadre di calcio iscritte al campionato.
– Dato il problema “Scegliere fra le classi e gli studenti della scuola le due classi con il maggior numero di studenti, e i due studenti con la media dei voti più alta” basterà utilizzare come insieme ambiente l’insieme \( P \) delle classi (che sono insiemi i cui elementi sono gli studenti che la compongono), e degli studenti della scuola.
Altro materiale utile
Test sulla teoria degli insiemi.
Appunti sugli insiemi in formato PDF.