Insieme N dei numeri naturali

Scheda in cui si trattano i principali insiemi numerici: l’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali, l’insieme \( \mathbb{Z} \) dei numeri interi, l’insieme \( \mathbb{Q} \) dei numeri razionali e l’insieme \( \mathbb{R} \) dei numeri reali.

L’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali

I numeri naturali sono i numeri con i quali solitamente si inizia a contare: 0,1,2,… Essi sono infiniti e ognuno si ottiene dal precedente aggiungendogli 1: di conseguenza l’insieme \( \mathbb{N} \) è un insieme infinito.

Approfondimento

L’insieme \( \mathbb{N} \) può essere presentato in maniera più formale attraverso degli assiomi, ovvero delle affermazioni che vengono prese per vere ed evidenti, i cosiddetti assiomi di Peano. Essi dicono, espressi in modo semplice, che:

  • Esiste un numero naturale che è lo \( 0 \);
  • Ogni numero naturale ha un successore;
  • Due numeri diversi non hanno lo stesso successore;
  • Lo 0 non è il successore di nessun numero naturale;
  • Se si prende un qualunque sottoinsieme di \( \mathbb{N} \) che contiene lo 0 e il successore di ogni suo elemento, allora tale sottoinsieme è \( \mathbb{N} \) stesso.

Si può approfondire ulteriormente qui:

https://it.wikipedia.org/wiki/Assiomi_di_Peano

http://www.dm.unibo.it/~verardi/Numeri%20naturali.pdf

Le operazioni interne ai numeri naturali

Definizione

Un’operazione \( \star \) si dice interna a un insieme \( A \) se presi due qualunque elementi \( a, b \) dell’insieme \( A \) l’operazione \( a \star b \) restituisce ancora un elemento di \( A \). In tal caso si dice che \( A \) è chiuso rispetto all’operazione \( \star \). In altri termini ancora un’operazione è interna a un insieme se e solo se si può svolgere con i soli elementi di quell’insieme, senza usarne altri.

Le operazioni interne all’insieme dei numeri naturali sono due: l’addizione ( + )  e la moltiplicazione ( \cdot ); esse assieme alla sottrazione ( – ) e alla divisione ( : ), costituiscono le cosiddette quattro operazioni fondamentali.

Terminologia delle quattro operazioni fondamentali

Presa un’operazione \( \star \) qualsiasi, si può schematizzare lo svolgersi di questa operazione nel seguente modo:

\[ a \star b = c \]

  • \( a, b \) sono detti operandi;
  • \( \star \) è detto operatore;
  • \( c \) è detto risultato

Gli operandi, l’operatore e il risultato prendono nomi differenti a seconda di quale delle quattro operazioni fondamentali si considera:

 

Operazione 1° operando 2° operando Operatore Risultato
Addizione 1° addendo 2° addendo + Somma
Sottrazione Minuendo Sottraendo Differenza
Moltiplicazione 1° fattore 2° fattore \(\cdot\) Prodotto
Divisione Dividendo Divisore : Quoziente

 

L’addizione \( + \)

L’operazione di addizione è un’operazione interna all’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali.

Proprietà dell’addizione

L’addizione gode di alcune proprietà fondamentali:

  • Proprietà commutativa \( a + b = b + a \)
  • Proprietà associativa \( a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) \)
  • Esistenza dell’elemento neutro (lo \( 0 \)): \( a + 0 = 0 + a = a \)

Inoltre essa soddisfa una legge, nota come legge di cancellazione:

Se \( a + c = b + c \) allora \( a = b \)

La sottrazione \( – \)

L’operazione di sottrazione non è un’operazione interna all’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali.

Esempio

\( 2 – 5 \) non è un’operazione che si può svolgere con i numeri naturali: il risultato non è un numero naturale.

Cosa serve per svolgere una sottrazione con i numeri naturali

La sottrazione fra due numeri naturali, ordinatamente \( a, b \) si può svolgere solo se il primo è maggiore o uguale del secondo, ovvero se il minuendo è maggiore o uguale del sottraendo \( a \ge b \)

Proprietà della sottrazione

La sottrazione non gode delle proprietà commutativa e associativa dell’addizione; lo \( 0 \) si può ammettere come suo elemento neutro solo parzialmente: infatti

\( a – 0 = a \)

ma in generale non si può dire nulla della quantità

\( 0 -a \)

(a meno che \( a = 0 \): in tal caso \( 0 – a = 0 \)).

Tuttavia, la sottrazione gode della proprietà invariantiva:

La differenza tra due numeri non cambia se ad ognuno di essi si aggiunge o si sottrae uno stesso numero

\( a – b = (a + c) – (b + c) \)

\( a – b = (a – c) – (b – c) \)

L’addizione e la sottrazione sono operazioni inverse

Definizione Un’operazione si dice inversa rispetto ad un’altra se agisce in modo opposto rispetto a quest’ultima; sostanzialmente essa non fa altro che ritornare al punto di partenza dell’operazione precedente.

\( a + b = c \)

\( c – b = a \)

Addizione e sottrazione sono operazioni inverse una dell'altra

 

 

 

 

 

 

 

La moltiplicazione \( \cdot \)

L’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali è chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione.

Proprietà della moltiplicazione

La moltiplicazione gode di alcune proprietà fondamentali:

  • Proprietà commutativa \( a \cdot b = b \cdot a \)
  • Proprietà associativa \(a \cdot b \cdot c = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
  • Esistenza dell’elemento neutro (l’\(1\)): \( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \)
  • Esistenza dell’elemento assorbente (lo \(0\)): \(a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \)

Inoltre essa soddisfa due leggi, la prima è nota come legge di cancellazione:

Se \( a \cdot c = b \cdot c \) e \( c \neq 0 \), allora \( a = b \)

La seconda invece è nota come legge di annullamento del prodotto:

Se \( a \cdot b = 0 \) allora necessariamente \( a = 0 \) oppure \( b = 0 \)

La divisione \( : \)

L’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali è chiuso rispetto all’operazione di divisione. Il divisore è sempre diverso da 0.

Esempio

\( 2:5 \)  non è un’operazione che si può svolgere con i numeri naturali: il risultato non è un numero naturale.

Cosa serve per svolgere una divisione con i numeri naturali

La divisione fra due numeri naturali, ordinatamente \( a, b \) si può svolgere solo se il primo è un multiplo del secondo, o equivalentemente se il secondo è un divisore del primo.

Proprietà della divisione

La divisione non gode delle proprietà commutativa e associativa dell’addizione; l’\(1\) si può ammettere come elemento neutro della divisione solo parzialmente: infatti

\( a : 1 = a \)

ma non si può dire nulla della quantità

\( 1 : a \)

(a meno che \( a = 1 \): in tal caso \( 1 : a = 1 \)).

Tuttavia, la divisione gode della proprietà invariantiva:

Il quoziente tra due numeri non cambia se si moltiplica o si divide ognuno di esse per uno stesso numero

\( a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c) \)

\(a : b = (a : c) : (b : c) \)

La moltiplicazione e la divisione sono operazioni inverse

\( a \cdot b = c \)

\( c : b = a \) e \( c : a = b \)

Moltiplicazione e divisione sono operazioni inverse

 

 

 

 

 

 

 

La proprietà distributiva

Esiste un’ulteriore proprietà che lega fra loro le quattro operazioni fondamentali: è la proprietà distributiva.

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot  c \)

\( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \)

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione \( a \cdot (b – c) = a \cdot b – a \cdot c \)

\( (a – b) \cdot  c = a \cdot  c – b \cdot c \)

Proprietà distributiva della divisone rispetto all’addizione \( (a + b) : c = (a : c) + (b : c) \)
Proprietà distributiva della divisone rispetto alla sottrazione \( (a – b) : c = (a : c) – (b : c ) \)

 

L’insieme \( \mathbb{N} \) è un insieme ordinato

Definizione Un insieme si dice ordinato se presi due qualunque suoi elementi è sempre possibile stabilire se essi sono uguali oppure quale di essi è il maggiore e quale il minore.

Approfondimento

Per approndire il concetto di insieme ordinato e quello di relazione d’ordine consulta:

https://it.wikipedia.org/wiki/Relazione_d%27ordine

Videolezione sui numeri naturali

 

Videolezione numeri naturali

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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