Scheda che introduce l’operazione di intersezione fra insiemi con le relative proprietà.
L’operazione intersezione
Definizione
Sia fissato un insieme ambiente \( U \). Presi due insiemi \( A \) e \( B \) sottoinsiemi di \( U \), si definisce il loro insieme intersezione quel sottoinsieme di \( U \) i cui elementi appartengono sia al primo che al secondo dei due insiemi. Tale insieme si indica con \( A \cap B \).
Quanto detto si può schematizzare nel seguente modo: se \( x \in U \), allora
| \( A \) | \( B \) | \( A \cap B \) |
| \( x \in A \) | \( x \in B \) | \( x \in A \cap B \) |
| \( x \in A \) | \( x \not \in B \) | \( x \not\in A \cap B \) |
| \( x \not \in A \) | \( x \in B \) | \( x \not\in A \cap B \) |
| \( x \not \in A \) | \( x \not \in B \) | \( x \not\in A \cap B \) |
Da questa tabella si legge immediatamente che affinché un elemento \( x \) qualsiasi non appartenga all’intersezione \( A \cap B \) di due insiemi \( A \), \( B \), tale elemento non deve appartenere ad almeno uno dei due insiemi.
Rappresentazioni di \( A \cap B \)
- Per proprietà caratteristica \( A \cap B = \{x \in U | x \in A \text{ e } x \in B \} \)
- Con i diagrammi di Eulero-Venn (l’insieme intersezione è evidenziato in giallo)
Proprietà dell’intersezione
In tutto questo paragrafo \( U \) sarà il solito insieme ambiente e \( A \), \( B \), \( C \) tre suoi sottoinsiemi
- Proprietà commutativa \( A \cap B = B \cap A \)
- Proprietà associativa \( A \cap B \cap C = (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \)
- Idempotenza \( A \cap A = A \)
- Proprietà dell’insieme vuoto \( A \cap \varnothing = \varnothing \)
- \( A \cap U = A \)
- In generale, se \( C \subseteq A \) allora \( A \cap C = C \)
- \( A \cap A^c = \varnothing \)
Proprietà di unione e intersezione
In tutto questo paragrafo \( U \) sarà il solito insieme ambiente e \( A, B, C \) tre suoi sottoinsiemi
- Proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C) \)
- Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione \(A \cap(B\cup C)=(A\cap C)\cup (A\cap C) \)
- Proprietà di assorbimento \(A \cup (A \cap B ) = A \)
- \( A \cap (A \cup B ) = A \)
- Leggi di De Morgan \( (A \cup B)^c=A^c\cap B^c\) e \( (A \cap B)^c = A^c \cup B^c \)
Esempi
- Se \( A=\{2,3,5\} \) e \(B=\{1,2,3,5,6\}\), allora dalla proprietà 6, poiché \( A \subseteq B \), si ha che \( A \cap B = A \)
- Se \( A=\{1,2,3,10\} \) e \( B=\{2,4,5\} \) , allora \( A \cap B = \{2\} \)
- Se \( U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \), \(A=\{2,3,4,7,9\}\), \(B=\{2,3,5,6,7,9\}\) allora
\( A \cap B = \{2,3,7,9\} \)
\( (A \cap B)^c = \{1,4,5,6,8\} \)
\( A^c = \{1,5,6,8\} \) e \( B^c = \{1,4,8\} \)
\( A^c \cup B^c = \{1,4,5,6,8\} = (A \cap B)^c \)
Come ci aspettavamo stando alla prima legge di De Morgan. Per la seconda legge,
\( A \cup B = \{2,3,4,5,6,7,9\} \)
\( (A \cup B)^c = \{1,8\} \)
\( A^c = \{1,5,6,8\} \) e \( B^c = \{1,4,8\} \)
\(A^c \cap B^c = \{1,8\} = (A \cup B)^c \)
- Se \( A=\{1,2,3,5\} \) e \( B=\{12,23,35\} \) allora \( A \cap B = \varnothing \)
Materiale di supporto
Guarda la videolezione sull’intersezione di insiemi.