La rappresentazione degli insiemi

Scheda che introduce la rappresentazione degli insiemi mediante i diagrammi di Eulero-Venn, la rappresentazione per elencazione e per proprietà caratteristica. La scheda è corredata di diversi esempi e propone degli esercizi riepilogativi.

La rappresentazione di un insieme si può ottenere generalmente in tre modi.

Rappresentazione mediante i diagrammi di Eulero-Venn

È un tipo di rappresentazione grafica. Si realizza racchiudendo gli elementi che appartengono all’insieme all’interno di una linea chiusa non intrecciata, come nei disegni:

Insiemi come linee chiuse

Esempi

L’insieme \( A \) delle prime cinque lettere dell’alfabeto può essere rappresentato nel seguente modo:

Insieme prime 5 lettere alfabeto

L’insieme \( B \) dei numeri naturali pari più piccoli di 7 può essere rappresentato nel seguente modo:

Insieme numeri pari minori di 7

L’insieme vuoto \( \varnothing \) può essere rappresentato nel seguente modo:

Insieme vuoto

Osservazione. A volte la rappresentazione per diagrammi di Eulero-Venn può risultare scomoda, ad esempio quando si devono rappresentare insiemi che hanno un numero infinito di elementi, come ℕ: si dovrebbero rappresentare infatti infiniti elementi!

Rappresentazione per elencazione

Questa rappresentazione si ottiene scrivendo, all’interno di una coppia di parentesi graffe, uno alla volta tutti gli elementi che appartengono all’insieme, separandoli con delle virgole.

Osservazione. L’ordine con cui scrivo gli elementi dell’insieme non è importante, ovvero se si scrive prima un elemento e dopo un altro, o si fa il viceversa, non cambia nulla.

Esempi

Con le notazioni degli esempi precedenti si ha:

\( A =\{a, b, c, d, e\} \)

\( B= \{0, 2, 4, 6\} \)

\( \varnothing =\{\} \)

Osservazione. Anche la rappresentazione per elencazione risulta scomoda per rappresentare insiemi infiniti. Di solito, quando la si utilizza, si scrivono i primi elementi dell’insieme, e poi si scrive “…”

Esempi

\( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, …\} \)

\( \mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, …\} \)

Rappresentazione per proprietà caratteristica

Per ottenere questo tipo di rappresentazione si deve cercare una “regola” che ci permetta di stabilire in maniera certa se un elemento appartiene all’insieme che vogliamo rappresentare o se non gli appartiene. Si scrive \( A = \{x | p(x)\} \). Dove \( p(x) \) è la proprietà che “descrive” gli elementi dell’insieme, e si legge “\( A \) è l’insieme degli elementi \( x \) tali che \( p(x) \) sia vera”.

Esempi

– Con le notazioni degli esempi precedenti si ha:

\( A = \{x | x \text{ è una delle prime cinque lettere dell’alfabeto}\} \)

\( B = \{x | x \text{ è un numero naturale pari minore di 7}\} = \{x | x \in \mathbb{N}, x \text{ è pari e } x < 7\} \)

\( C = \{x | x \text{ è un numero primo multiplo di 4}\} \)

– Se si considera l’insieme \( C \) dei numeri naturali multipli di 4, le tre possibili rappresentazioni sono:

Insieme multipli di 4

\( C = \{0, 4, 8, 12, 16, \ldots \} \)

\( C = \{x | x \in \mathbb{N} \text{ e } x \text{ è multiplo di } 4\} \)

Osservazione. La rappresentazione per proprietà caratteristica risulta comoda per rappresentare gli insiemi infiniti perché con essa si stabiliscono in maniera certa tutti gli elementi dell’insieme. Se si considera ad esempio l’insieme

\( D = \{0, 3, 4, 6, 8, \ldots \} \)

non si riesce a capire bene se, ad esempio, il numero \( 21 \) gli appartenga o meno. Potrebbe essere:

\( D = \{x | x \in \mathbb{N} \text{ e } x \text{ è un multiplo di 3 oppure di 4}\} \)

oppure

\( D = \{x | x \in \mathbb{N} \text{ e } x \text{ è un multiplo di 4 oppure è uno dei primi cinque multipli di 3}\} \)

Nel primo caso si avrebbe \( 21 \in D \),  nel secondo \( 21 \not\in D \).

Altro materiale da consultare

Dispensa sugli insiemi in PowerPoint.

 

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