Scheda che introduce l’operazione di unione di insiemi con le relative proprietà.
L’operazione unione
Definizione
Sia fissato un insieme ambiente \( U \). Presi due insiemi \( A \) e \( B \) sottoinsiemi di \( U \), si definisce il loro insieme unione quel sottoinsieme di \( U \) i cui elementi appartengono ad almeno uno dei due insiemi. Tale insieme si indica con \( A \cup B \).
Quanto detto si può schematizzare nel seguente modo: se \( x \in U \), allora
| \( A \) | \( B \) | \( A \cup B \) |
|---|---|---|
| \( x \in A \) | \( x \in B \) | \( x \in ( A \cup B ) \) |
| \( x \in A \) | \( x \not \in B \) | \( x \in ( A \cup B ) \) |
| \( x \not \in A \) | \( x \in B \) | \( x \in ( A \cup B ) \) |
| \( x \not \in A \) | \( x \not \in B \) | \( x \not \in ( A \cup B ) \) |
Da questa tabella si legge immediatamente che affinché un elemento \( x \) qualsiasi non appartenga all’unione \( A \cup B \) di due insiemi \( A \), \( B \), tale elemento non deve appartenere a nessuno dei due insiemi.
Rappresentazioni di \( A \cup B \)
Per proprietà caratteristica
\( A \cup B = \{ x \in U | x \in A \vee x \in B \} \)
Con i diagrammi di Eulero-Venn (l’insieme unione è evidenziato in giallo)
Proprietà dell’unione
In tutto questo paragrafo \( U \) sarà il solito insieme ambiente e \( A \), \( B \), \( C \) tre suoi sottoinsiemi
- Proprietà commutativa \( A \cup B = B \cup A \)
- Proprietà associativa \( A \cup B \cup C = ( A \cup B ) \cup C = A \cup ( B \cup C ) \)
- Idempotenza \( A \cup A = A \)
- Proprietà dell’insieme vuoto \( A \cup \varnothing = A \)
- \( A \cup U = U \)
- In generale, se \( C \subseteq A \) allora \( A \cup C = A \)
- \( A \cup A^c = U \)
Esempi
- Se \( A \) è l’insieme delle vocali e \( B \) l’insieme delle consonanti, allora \( A \cup B \) è l’insieme delle lettere dell’alfabeto.
- Se \( A = \{2,3,5\} \) e \( B = \{1,2,3,5,6\} \), allora dalla proprietà 6, poiché \( A \subseteq B \), si ha che \( A \cup B = B \)
- Se \( A=\{1,2,3,10\} \) e \( B=\{2,4,5\} \), allora \( A \cup B = \{1,2,3,4,5,10\} \)
- Se \( A \) è l’insieme degli interi positivi pari e \( B \) è l’insieme degli interi positivi dispari, allora \( A \cup B = \mathbb{N} \)
Materiale di supporto
Videolezione sulle operazioni fra insiemi