Scheda che contiene problemi svolti che si risolvono attraverso gli insiemi
Problema 1
Una classe deve svolgere un compito in classe composto da 3 problemi. Il primo problema è risolto da 18 studenti, il secondo da 17, il terzo da 16. Inoltre 5 studenti hanno risolto sia il primo che il secondo, ma non il terzo, 2 sia il primo che il terzo, ma non il secondo, e 11 sia il secondo che il terzo, ma non il primo, mentre solo 1 ha risolto tutti i problemi. Sapendo che tutti hanno risolto almeno un problema, quanti sono gli studenti?
Problema 2
Individuare i seguenti insiemi:
\( \color{red}{(A \cup B )} \)
\( \color{blue}{(B \cap C)} \)
\( \color{orange}{(A \cup B) \cup (B \cap C)} \)
\( \color{green}{(A \setminus B)} \)
\( \color{olive}{(B \setminus A)} \)
\( \color{black}{(A \setminus B) \cup (B \setminus A)} \)
\( \color{cyan}{(A \cup B \cup C)} \)
\( \color{magenta}{(A \cup B \cup C)^c} \)
Problema 3
Sia \( A \) l’insieme dei numeri naturali multipli di 5 e minori di 30, \( B \) l’insieme dei numeri naturali multipli di 8 e minori di 40, \( C \) l’insieme dei numeri naturali che sono divisori di 18. Determinare \( A \cap B, A \cap C, B \cap C, A \cup B, B \setminus A \)
Problema 4
Stabilire la cardinalità dei seguenti insiemi:
\( A = \{x|x \in \mathbb{N}, x \text{ è dispari e } x \lt 20\} \)
\( B = \{x|x \in \mathbb{N}, x \text{ è pari e } x \lt 10 \} \)
\( C = \{x|x \in \mathbb{N}, x \text{ è pari e } x \le 10 \} \)
\( D = \{x|x \in \mathbb{N}, x \text{ è una lettera di “matematicamente”}\} \)
Problema 5
Stabilire se \( A = \{x|x \in \mathbb{N}, x \text{ pari è multiplo di 3}\} \) è un sottoinsieme di \( B = \{x|x \in \mathbb{N}, x \text{ è multiplo di 12}\} \)
Problema 6
Calcolare l’insieme delle parti di \( A = \{2, 3, 6\} \) e stabilire, senza determinarlo, la cardinalità dell’insieme delle parti di \( B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
Soluzione problema 1
La situazione si può schematizzare nel seguente modo:
\( A \) Rappresenta l’insieme degli studenti che hanno risolto il primo problema, \( B \) l’insieme degli studenti che hanno risolto il secondo e \( C \) l’insieme degli studenti che hanno risolto il terzo.
La parte evidenziata in arancione è l’intersezione fra i soli \( A \) e \( C \), dunque \( A \cap C \), e corrisponde all’insieme degli studenti che hanno risolto solo il primo e il terzo problema ma non il cecondo, quella in giallo è l’intersezione fra i soli \( A \) e \( B \), dunque \( A \cap B \), e corrisponde all’insieme degli studenti che hanno risolto solo il primo e il secondo problema ma non il terzo, quella in verde è l’intersezione fra i soli \( B \) e \( C \), dunque \( B \cap C \), e corrisponde all’insieme degli studenti che hanno risolto solo il secondo e il terzo problema ma non il primo, mentre quella in blu è l’intersezione fra tutti e tre gli insiemi, dunque \( A \cap B \cap C \), e corrisponde all’insieme degli studenti che hanno risolto tutti i problemi. Le parti in bianco rimaste in \( A, B, C \) corrispondo agli insiemi degli studenti che hanno risolto solo il primo, il secondo, l terzo problema, rispettivamente.
Si sa che solo 1 studente ha risolto tutti e tre i problemi, dunque, si può concludere che l’unico elemento appartenente alla parte evidenziata in blu sia questo studente, ovvero che \( A \cap B \cap C | = 1 \). In maniera analoga si conclude che \( | A \cap B \setminus C| = 5 \) e \( |A \cap C \setminus B| = 2 \) e \( | B \cap C \setminus A | = 11 \)
Poiché \( |A| = 18 \) si ha che gli studenti che hanno risolto solo il primo problema sono \( 18 – 2 – 1 – 5 = 10 \);
Poiché \( | B | = 15 \) si ha che gli studenti che hanno risolto solo il secondo problema sono \( 17 – 5 – 1 – 11 = 0 \);
Poiché \( | C | = 16 \) si ha che gli studenti che hanno risolto solo il terzo problema sono \( 16 – 2 – 1 – 11 = 2 \).
Il numero totale di studenti è dunque:
\[ 10 + 2 + 1 + 5 + 0 + 11 + 2 = 31 \]
Soluzione problema 2
Soluzione problema 3
\[ A = \{0, 5, 10, 15, 20, 25\} \]
\[ B = \{0, 8, 16, 24, 32 \} \]
\[ C = \{1, 2, 3, 6, 9, 18 \} \]
\[ A \cap B = \{\varnothing\} \]
\[ B \cap C = \varnothing \]
\[ A \cap C = \varnothing \]
\[ A \cup B = \{0, 5, 8, 10, 15, 16, 20, 24, 25, 32\} \]
\[ B \setminus A = \{8, 16, 24, 32\} \]
Soluzione problema 4
\[ A= \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19\} \]
Dunque \( |A| = 10 \)
\[ B = \{0, 2, 4, 6, 8\} \]
Dunque \( |B| = 5 \)
\[ C = \{0, 2, 4, 6, 8, 10\} \]
Dunque \( |C| = 6\} \)
\[ D = \{m, a, t, e, i, c, m\} \]
Dunque \( |D| = 7 \)
Soluzione problema 5
\[ A=\{x|x \in \mathbb{N}, x \text{ è pari e multiplo di 3}\} = \{x|x \in \mathbb{N}, x \text{ è multiplo di } 6\} \]
Poiché tutti i multipli di 12 sono multipli di 6, si ha che \( B \subset A \), ma non \( A \subset B \).
Soluzione problema 6
\[ \wp(A) = \{\varnothing, \{2\}, \{3\}, \{6\}, \{2, 3\}, \{2, 6\}, \{3, 6\}, \{2, 3, 6\}\} \]
La cardinalità dell’insieme delle parti di un insieme \( B \) qualunque è data dalla formula:
\[ |\wp(B)| = 2^n \]
dove \( n = |B| \)
Dunque, poiché in questo caso \( |B| = 10 \), si ha che:
\[ |\wp(B)| = 2^{10} = 1024\]
Altre risorse utili
Videolezione: esercizi sugli insiemi.