Limite finito di una successione

Definizione: Si dice che una successione di elementi

\[ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \]

tende ad un valore $l$, al tendere di $n$ a più infinito, se, prefissato un valore \(\epsilon\) positivo, abbastanza piccolo, è possibile trovare, in corrispondenza di esso, un numero \(n_\epsilon\) tale che, per ogni numero naturale \(n \gt n_\epsilon\), sia verificata la seguente relazione:

\[ |a_n – l| \lt \epsilon \]

In simboli, possiamo scrivere:

\[ \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = l \Leftrightarrow \forall\epsilon \gt 0, \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N}: |a_n – l| \lt \epsilon \,\, \forall n \gt n_{\epsilon}\ \]

Se una successione tende ad un valore $l$, reale, la successione di dice convergente.

Possiamo quindi affermare che una successione tende ad un valore $l$ se è possibile determinare, dopo aver fissato un qualunque numero \( \epsilon \) abbastanza piccolo, un numero \( n_\epsilon \) per cui i valori della successione, definiti per tutti gli indizi $n$ che sono maggiori di \(n_\epsilon\), si avvicinano sempre di più a $l$.

Quindi, da un certo punto in poi (da \(n_\epsilon\) in poi), la distanza dei valori della successione da $l$ diventano sempre più piccoli, più piccoli di qualsiasi numero piccolo \(\epsilon\).

Esempio:   Verifichiamo, utilizzando la definizione, che la successione   così definita: \( a_n = \frac{n+1}{n} \)

ha limite 1, cioè che: \( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n+1}{n} = 1 \)

Procediamo fissando un \( \epsilon \gt 0 \), piccolo a piacere; dobbiamo mostrare che è possibile determinare un \(n_\epsilon\) ( che dipende da \(\epsilon\)) in modo che, per tutti i valori della successione individuati da \( n \gt n_\epsilon\), valga la seguente disuguaglianza:

\( \Big|\frac{n+1}{n}-1\Big| \lt \epsilon \)

Risolviamo la disuguaglianza:

\( \Big|\frac{n+1}{n}-1 \Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{n+1-n}{n} \Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big| \frac{1}{n} \Big| \lt \epsilon \)

Poiché $n$ è sempre positivo, possiamo togliere il valore assoluto:

\( \Big| \frac{1}{n} \Big| \lt \epsilon \rightarrow \frac{1}{n} \lt \epsilon \rightarrow n \gt \frac{1}{\epsilon} \)

Possiamo scegliere \( n_\epsilon = \frac{1}{\epsilon} \)

In questo modo, infatti, la disuguaglianza è verificata per tutti gli $n$ maggiori di \(n_\epsilon\).

 

Limite infinito

Definizione: Si dice che una successione di elementi \[ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \] ha per limite più infinito, al tendere di $n$ a più infinito, se, prefissato un numero M positivo, abbastanza grande, è    possibile trovare, in corrispondenza di esso, un numero $n_M$ tale che, per ogni numero naturale \( n \gt n_M\), sia verificata la seguente relazione:

\[ a_n \gt M \]

In simboli, possiamo scrivere:

\[ \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = +\infty \Leftrightarrow \forall M \gt 0 \,\,\, \exists n_M \in \mathbb{N}: a_n \gt M \,\,\, \forall n \gt n_M \]

Se una successione tende a più infinito, essa si dice positivamente divergente.

Possiamo riassumere la definizione affermando che una successione diverge a più infinito se, comunque scelto un numero $M$ molto grande, esiste un termine della successione tale che ciascun termine della successione che abbiamo indice superiore ad esso, è maggiore di $M$.

Allo stesso modo, possiamo definire una successione negativamente divergente:

Definizione: Una successione è negativamente divergente, cioè ha per limite meno infinito, al tendere di $n$ a più infinito, se, prefissato un numero $M$ positivo, abbastanza grande, è possibile trovare, in corrispondenza di esso, un numero $n_M$ tale che, per ogni numero naturale \( n \gt n_M\), sia verificata la seguente relazione:

\[ a_n \lt -M \]

In simboli:

\[ \lim_{} a_n = -\infty \Leftrightarrow \forall M \gt 0 \,\,\, \exists n_M \in \mathbb{N}: a_n \lt -M \forall n \gt n_M \]

In generale, possiamo dire che una successione ha per limite infinito (generico) se:

\[ \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = \infty \Leftrightarrow \forall M \gt 0 \,\,\, \exists n_M \in \mathbb{N}: |a_n| \gt M\,\,\,  \forall n \gt n_M \]

Notiamo, quindi, che una successione positivamente (o negativamente) divergente non è limitata superiormente (inferiormente) ; allo stesso modo, si può affermare che una successione limitata superiormente (inferiormente) non può essere positivamente (negativamente) divergente.

Esempio: Consideriamo la successione definita analiticamente nel seguente modo: \( a_n = n^2 \)

Verifichiamo che essa diverge positivamente, cioè che: \( \lim_{n\rightarrow +\infty} n^2 = +\infty \)

Applicando la definizione precedente, dobbiamo mostrare che, una volta fissato un numero $M$ abbastanza grande, è possibile determinare un valore $n_M$, che dipenda da $M$, in modo che la seguente disuguaglianza sia verificata per tutti i valori della successione che abbiamo indice maggiore di $M$:

\( a_n \gt M \rightarrow n^2 \gt M \)

Risolvendo la disuguaglianza, otteniamo:

\( n^2 \gt M \rightarrow n \lt -\sqrt{M} \vee n \gt \sqrt{M} \)

Possiamo ignorare la prima parte della soluzione, in quanto  $n$ è un numero positivo, e sappiamo che la radice di un numero $M$ positivo e sempre positiva, quindi non può essere \( n \lt -\sqrt{M} \).

Analizziamo ora la seconda parte della soluzione, cioè \( n \gt \sqrt{M} \). Possiamo scegliere \( n_M = \sqrt{M} \); in questo modo, la disuguaglianza precedente è verificata per tutti i valori di $n$ maggiori di $n_M$.

 

Successioni indeterminate

Non tutte le successioni ammettono limite, cioè sono convergenti o divergenti. Se una successione non ammette limite, né finito, né infinito, essa si dice indeterminata. Un esempio di successione indeterminata è la seguente:

\[ a_n = (-1)^n \]

la successione, infatti, assume il valore $1$ per $n$ pari, e il valore $-1$ per $n$ dispari.

 

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