Determinare le coordinate del centro e il raggio della circonferenza avente la seguente equazione:
$x^2+y^2-6x-4sqrt2y+1=0$

---

Svolgimento
l’equazione della circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e di raggio $r$, sarà:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Sviluppandola si ha:
$x^2+x_0^2-2xx_0+y^2+y_0^2-2yy_0=r^2$
ponendo $-2x_0=\alpha$, $-2y_0=\beta$ e $x_0^2+y_0^2-r^2=\gamma$ si ha
$x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0$
che rappressenta l’equazione normale o canonica della circonferenza.
Il centro $C$ della circonferenza rappresentata dall’equazione canonica si ricava dalle due relazioni:

$\{(-2x_0=\alpha),(-2y_0=\beta):} => \{(x_0=-(\alpha)/2),(y_0=-(\beta)/2):}$;

Quindi $C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)$.
La misura del raggio invece si ricava dalla terza relazione
$r^2=x_0^2+y_0^2-\gamma => r^2=(-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma => r=sqrt((-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma)$.
Prendiamo in considerazione la nostra equazione
$x^2+y^2-6x-4sqrt2y+1=0$
Consideriamo l’equazione normale della circonferenza generica di raggio r e centro $C(x_0;y_0)$ si ha:
$\alpha=-6, \beta=-4sqrt2, \gamma=1$.
Pertanto, essendo $C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)$, otteniamo
$C(3;2sqrt2)$
ed essendo $r=sqrt((-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma)$ si ha
$r=sqrt((3)^2+(2sqrt2)^2-1)=sqrt(9+8-1)=sqrt(16)=4$.

Determinare le coordinate del centro e il raggio della circonferenza avente la seguente equazione:
$x^2+y^2+6x-6y=0$

---

Svolgimento
l’equazione della circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e di raggio $r$, sarà:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Sviluppandola si ha:
$x^2+x_0^2-2xx_0+y^2+y_0^2-2yy_0=r^2$
ponendo $-2x_0=\alpha$, $-2y_0=\beta$ e $x_0^2+y_0^2-r^2=\gamma$ si ha
$x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0$
che rappressenta l’equazione normale o canonica della circonferenza.
Il centro $C$ della circonferenza rappresentata dall’equazione canonica si ricava dalle due relazioni:

$\{(-2x_0=\alpha),(-2y_0=\beta):} => \{(x_0=-(\alpha)/2),(y_0=-(\beta)/2):}$;

Quindi $C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)$.
La misura del raggio invece si ricava dalla terza relazione
$r^2=x_0^2+y_0^2-\gamma => r^2=(-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma => r=sqrt((-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma)$.
Prendiamo in considerazione la nostra equazione
$x^2+y^2+6x-6y=0$
Consideriamo l’equazione normale della circonferenza generica di raggio r e centro $C(x_0;y_0)$ si ha:
$\alpha=6, \beta=-6, \gamma=0$.
Pertanto, essendo $C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)$, otteniamo
$C(-3;3)$
ed essendo $r=sqrt((-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma)$ si ha
$r=sqrt((-3)^2+(3)^2-0)=sqrt(9+9)=sqrt(18)=3sqrt2$.

Scrivere l’equazione della circonferenza di centro $A(2;3)$ e passante per $B(-1;6)$.

---

Svolgimento
La circonferenza è il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro,
è congruente a un prefissato segmento (non nullo) detto raggio.

Dobbiamo quindi ricavarci il raggio della circonferenza, ovvero la distanza tra il centro $A$ della circonferenza
e il punto $B$ appartenente alla circonferenza.

La distanza tra due punti è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze
delle coordinate omonime dei due punti, in formule:
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$.
Quindi
$\bar{AB}=sqrt((-1-2)^2+(6-3)^2)=sqrt((-3)^2+(3)^2)=sqrt(9+9)=sqrt(18)=3sqrt2$

Sostituiamo alla formula generale i dati a noi noti, e otteniamo:
$(x-2)^2+(y-3)^2=(3sqrt2)^2$;
Sviluppiamo le parentesi e raccogliamo i termini simili
$x^2+4-4x+y^2+9-6y=18$;
$x^2+y^2-4x-6y-6=0$
Quest’ultima rappresenta l’equazione della circonferenza di centro $A(2;3)$ e passante per $B(-1;6)$.

Scrivere l’equazione della circonferenza di raggio $5$ e con centro nell’origine delle coordinate.

---

Svolgimento
La circonferenza è il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro,
è congruente a un prefissato segmento (non nullo) detto raggio.

In formule, l’equazione della circonferenza con centro nell’origine e di raggio $5$, sarà:
$(x-0)^2+(y-0)^2=r^2$
Sostituiamo alla formula generale i dati a noi noti, e otteniamo:
$x^2+y^2=25$;
$x^2+y^2-25=0$
Quindi l’equazione della circonferenza di centro $(0;0)$ e raggio $5$ sarà:
$x^2+y^2-25=0$.

Scrivere l’equazione della circonferenza di centro $(-1;3)$ e raggio $2$.

---

Svolgimento
La circonferenza è il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro,
è congruente a un prefissato segmento (non nullo) detto raggio.

In formule, l’equazione della circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e di raggio $r$, sarà:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Sostituiamo alla formula generale i dati a noi noti, e otteniamo:
$(x+1)^2+(y-3)^2=2^2$;
Sviluppiamo le parentesi e raccogliamo i termini simili
$x^2+1+2x+y^2+9-6y=4$;
$x^2+y^2+2x-6y+6=0$
Quindi l’equazione della circonferenza di centro $(-1;3)$ e raggio $2$ sarà:
$x^2+y^2+2x-6y+6=0$.

Scrivere l’equazione della circonferenza di centro $(4;2)$ e raggio $6$.

---

Svolgimento
La circonferenza è il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro,
è congruente a un prefissato segmento (non nullo) detto raggio.

In formule, l’equazione della circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e di raggio $r$, sarà:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Sostituiamo alla formula generale i dati a noi noti, e otteniamo:
$(x-4)^2+(y-2)^2=6^2$;
Sviluppiamo le parentesi e raccogliamo i termini simili
$x^2+16-8x+y^2+4-4y=36$;
$x^2+y^2-8x-4y-16=0$
Quindi l’equazione della circonferenza di centro $(4;2)$ e raggio $6$ sarà:
$x^2+y^2-8x-4y-16=0$.

Scrivere l’equazione della retta passante per $A(3;2)$ e $B(7;1)$

---

Svolgimento
L’equazione generale della retta passante per due punti dati $P(x_1;y_1)$ e $Q(x_2;y_2)$
e non parallela ad alcun asse cartesiano, è della forma:
$(y-y_1)/(y_2-y_1)=(x-x_1)/(x_2-x_1)$.
Nel nostro caso i punti per cui passa la retta hanno le seguenti coordinate $(3;2)$ e $(7;1)$,
quindi sostituendo, nell’equazione generale, i valori noti avremo:
$(y-2)/(1-2)=(x-3)/(7-3)$;
$(y-2)/(-1)=(x-3)/4$;
$2-y=(x-3)/4$
moltiplichiamo ambo i membri per $4$
$8-4y=x-3$;
semplifichiamo
$x+4y-11=0$.
Quest’ultima equazione rappresenta la retta passante per $A(3;2)$ e $B(7;1)$.

Trova la distanza del punto $A(3;4)$ dalla retta $r:=2x-y+6=0$

---

Svolgimento
Indichiamo con $A$ il punto di coordinate $(3;4)$ e con $r$ la retta di equazione $2x-y+6=0$.
Ricordiamo che la distanza di un punto da una retta di equazione $ax+by+c=0$ si ottiene sostituendo
nel primo membro dell’equazione della retta, al posto di $x$ e $y$, le coordinate $x_0$ e $y_0$,
del punto, e dividendo il valore assoluto del risultato ottenuto per la radice quadrata della somma dei
quadrati dei coefficienti di $x$ e $y$ nell’equazione stessa.
In formula:
$d=(|ax_0+by_0+c|)/(sqrt(a^2+b^2))$
Sostituendo, nell’equazione generale, i valori fornitici dal problema si ha:
$d=(|2(3)+(-1)(4)+6|)/(sqrt(2^2+(-1)^2))=(|6-4+6|)/(sqrt(4+1))=8/sqrt5=(8sqrt5)/5$.
Quindi, la distanza del punto $A(3;4)$ dalla retta $r:=2x-y+6=0$, misura $(8sqrt5)/5$.

Trova la distanza del punto $(2;3)$ dalla retta $3x+2y+6=0$

---

Svolgimento
Indichiamo con $A$ il punto di coordinate $(2;3)$ e con $r$ la retta di equazione $3x+2y+6=0$.
Ricordiamo che la distanza di un punto da una retta di equazione $ax+by+c=0$ si ottiene sostituendo
nel primo membro dell’equazione della retta, al posto di $x$ e $y$, le coordinate $x_0$ e $y_0$,
del punto, e dividendo il valore assoluto del risultato ottenuto per la radice quadrata della somma dei
quadrati dei coefficienti di $x$ e $y$ nell’equazione stessa.
In formula:
$d=(|ax_0+by_0+c|)/(sqrt(a^2+b^2))$
Sostituendo, nell’equazione generale, i valori fornitici dal problema si ha:
$d=(|3(2)+2(3)+6|)/(sqrt(3^2+2^2))=(|6+6+6|)/(sqrt(9+4))=(18)/sqrt(13)=(18sqrt(13))/(13)$.
Quindi, la distanza del punto $(2;3)$ dalla retta $3x+2y+6=0$, misura $(18sqrt(13))/(13)$.

Verificare che i punti $(1;-5/2); (2;-2); (-4;-5)$ sono allineati.

---

Svolgimento
Indichiamo con $A,B,C$ i punti aventi rispettivamente le coordinate $(1;-5/2); (2;-2); (-4;-5).
Poichè la condizione necessaria e sufficiente affinchè un punto appartenga ad una retta è che le sue
coordinate verifichino l’equazione della retta, la condizione di allineamento di un punto $S(x_3;y_3)$
con $P(x_1;y_1)$ e $Q(x_2;y_2)$ sarà:
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$
Sostituendo nell’equazione generale le coordinate dei punti $A, B, C$, si ha
$(-5+5/2)/(-2+5/2)=(-4-1)/(2-1)$;
$((-10+5)/2)/((-4+5)/2)=-5$;
$(-5/2)/(1/2)=-5$;
$-5=-5$
L’equazione è verificata e pertanto $A,B,C$ sono allineati.

Verificare che i punti $(2;0); (1;-1/2); (1/3;-5/6)$ sono allineati.

---

Svolgimento
Indichiamo con $A,B,C$ i punti aventi rispettivamente le coordinate $(2;0); (1;-1/2); (1/3;-5/6)$.
Poichè la condizione necessaria e sufficiente affinchè un punto appartenga ad una retta è che le sue
coordinate verifichino l’equazione della retta, la condizione di allineamento di un punto $S(x_3;y_3)$
con $P(x_1;y_1)$ e $Q(x_2;y_2)$ sarà:
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$
Sostituendo nell’equazione generale le coordinate dei punti $A, B, C$, si ha
$(-5/6-0)/(-1/2-0)=(1/3-2)/(1-2)$;
$-5/6*(-2)=((1-6)/3)/(-1)$;
$5/3=5/3$.
L’equazione è verificata e pertanto $A,B,C$ sono allineati.

Scrivere l’equazione della retta passante per $A(-3;0)$ e $B(1;2)$

---

Svolgimento
L’equazione generale della retta passante per due punti dati $P(x_1;y_1)$ e $Q(x_2;y_2)$
e non parallela ad alcun asse cartesiano, è della forma:
$(y-y_1)/(y_2-y_1)=(x-x_1)/(x_2-x_1)$.
Nel nostro caso i punti per cui passa la retta hanno le seguenti coordinate $(-3;0)$ e $(1;2)$,
quindi sostituendo, nell’equazione generale, i valori noti avremo:
$(y-0)/(2-0)=(x+3)/(1+3)$;
$y/2=(x+3)/4$;
risolviamo la seguente equazione:
$y/2=(x+3)/4$;
$y=(x+3)/2$;
moltiplichiamo ambo i membri per $2$
$2y=x+3$;
$x-2y+3=0$
Quest’ultima equazione rappresenta la retta passante per $A(-3;0)$ e $B(1;2)$.

Scrivere l’equazione della retta passante per il punto $(1/2;2)$ e parallela alla retta $3x+2y=6$.

---

Svolgimento
Indichiamo con $A$ il punto di coordinate $(1/2;2)$ e con $r$ la retta di equazione $3x+2y=6$.
L’equazione $y-y_0=m(x-x_0)$ rappresenta la retta passante per il punto $(x_0;y_0)$
e avente un assegnato coefficiente angolare $m$.
Nel nostro caso $x_0=1/2, y_0=2$, ma non conosciamo il coefficiente angolare $m$.
Sappiamo, però, che la retta passante per $A$ è parallela ad $r$;
cioè ha il coefficiente angolare uguale a quello della retta $r$.
Ricaviamoci dall’equazione di $r$ il coefficiente angolare.
Esplicitiamo l’equazione rispetto a $y$, cioè $3x+2y=6$ diventa $2y=-3x+6 => y=-3/2x+3$,
quindi $m_r=-3/2$.
Pertanto $x_0=1/2, y_0=2, m=-3/2$
Sostituendo nell’equazione generale si ha:
$y-2=-3/2(x-1/2)$;
sviluppando e raccogliendo i termini simili
$y-2=-3/2x+3/4$;
il m.c.m. è $4$
$(4y-8+6x-3)/4=0$;
moltiplicando ambo i membri per $4$, otteniamo
$4y+6x-11=0$;
$6x+4y=11$.
Quest’ultima equazione rappresenta la retta passante per il punto $(1/2;2)$ e parallela alla retta $3x+2y=6$.

Scrivere l’equazione della retta passante per il punto $(-3;1)$ e parallela alla retta $2x-y=5$.

---

Svolgimento
Indichiamo con $A$ il punto di coordinate $(-3;1)$ e con $r$ la retta di equazione $2x-y=5$.
L’equazione $y-y_0=m(x-x_0)$ rappresenta la retta passante per il punto $(x_0;y_0)$
e avente un assegnato coefficiente angolare $m$.
Nel nostro caso $x_0=-3, y_0=1$, ma non conosciamo il coefficiente angolare $m$.
Sappiamo, però, che la retta passante per $A$ è parallela ad $r$;
cioè ha il coefficiente angolare uguale a quello della retta $r$.
Ricaviamoci dall’equazione di $r$ il coefficiente angolare.
Esplicitiamo l’equazione rispetto a $y$, cioè $2x-y=5$ diventa $y=2x-5$,
quindi $m_r=2$.
Pertanto $x_0=-3, y_0=1, m=2$
Sostituendo nell’equazione generale si ha:
$y-1=2(x+3)$;
sviluppando e raccogliendo i termini simili
$y-1=2x+6$;
$y=2x+7$.
Quest’ultima equazione rappresenta la retta passante per il punto $(-3;1)$ e parallela alla retta $2x-y=5$.

Determinare il punto d’intersezione tra le rette $r:=3x+y-1=0$ e $s:=3x-12y-4=0$.

---

Svolgimento
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione
$\{(3x-12y-4=0),(3x+y-1=0):}$;
$\{(3x-12y-4=0),(y=-3x+1):}$;
$\{(3x-12(-3x+1)-4=0),(y=-3x+1):}$;
$\{(3x+36x-12-4=0),(y=-3x+1):}$;
$\{(39x-16=0),(y=-3x+1):} => \{(x=(16)/(39)),(y=-3(16)/(39)+1):}$;
$\{(x=(16)/(39)),(y=-(16)/(13)+1):} => \{(x=(16)/(39)),(y=(-16+13)/(13)=-3/(13)):}$.

Quindi il punto d’intersezione tra le rette $r, s$ ha le coordinate $((16)/(39);-3/(13))$.

Determinare il punto d’intersezione tra le rette $r:=3x+y-1=0$ e $s:=3x-12y-4=0$.

---

Svolgimento
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione
$\{(3x-12y-4=0),(3x+y-1=0):}$;
$\{(3x-12y-4=0),(y=-3x+1):}$;
$\{(3x-12(-3x+1)-4=0),(y=-3x+1):}$;
$\{(3x+36x-12-4=0),(y=-3x+1):}$;
$\{(39x-16=0),(y=-3x+1):} => \{(x=(16)/(39)),(y=-3(16)/(39)+1):}$;
$\{(x=(16)/(39)),(y=-(16)/(13)+1):} => \{(x=(16)/(39)),(y=(-16+13)/(13)=-3/(13)):}$.

Quindi il punto d’intersezione tra le rette $r, s$ ha le coordinate $((16)/(39);-3/(13))$.

Scrivere l’equazione della retta $r$ passante per il punto $(0;-1/3)$ e di coefficiente angolare $1/4$.
Disegnare la retta ottenuta.

---

Svolgimento
L’equazione $y-y_0=m(x-x_0)$ rappresenta la retta passante per il punto $(x_0;y_0)$
e avente un assegnato coefficiente angolare $m$.
Nel nostro caso $x_0=0, y_0=-1/3, m=1/4$
Sostituendo nell’equazione generale si ha:
$y+1/3=1/4(x-0)$;
sviluppando e raccogliendo i termini simili
$y+1/3=1/4x$;
il m.c.m.è $12$
$(12y-3x+4)/(12)=0$.
moltiplicando ambo i membri per $12$ e cambiando di segno, otteniamo
$3x-12y-4=0$.
Quest’ultima equazione rappresenta la retta passante per il punto $(0;-1/3)$ e di coefficiente angolare $1/4$.
Per rappresentarla graficamente basta intersecare la retta con gli assi
${(3x-12y-4=0),(x=0):} => {(-12y=4),(x=0):} => {(y=-1/3),(x=0):}$;
${(3x-12y-4=0),(y=0):} => {(3x=4),(y=0):} => {(x=4/3),(y=0):}$.

Scrivere l’equazione della retta $r$ passante per il punto $(2/3;-1)$ e di coefficiente angolare $-3$.
Disegnare la retta ottenuta.

---

Svolgimento
L’equazione $y-y_0=m(x-x_0)$ rappresenta la retta passante per il punto $(x_0;y_0)$
e avente un assegnato coefficiente angolare $m$.
Nel nostro caso $x_0=2/3, y_0=-1, m=-3$
Sostituendo nell’equazione generale si ha:
$y+1=-3(x-2/3)$;
sviluppando e raccogliendo i termini simili
$y+1=-3x+2$;
$y=-3x+1$.
Quest’ultima equazione rappresenta la retta passante per il punto $(2/3;-1)$ e di coefficiente angolare $-3$.
Per rappresentarla graficamente basta intersecare la retta con gli assi
${(y=-3x+1),(x=0):} => {(y=1),(x=0):}$;
${(y=-3x+1),(y=0):} => {(x=1/3),(y=0):}$.

Trovare l’equazione della retta passante per il punto $(-1;2)$ e di coefficiente angolare $2$.
Disegnare la retta ottenuta.

---

Svolgimento
L’equazione $y-y_0=m(x-x_0)$ rappresenta la retta passante per il punto $(x_0;y_0)$
e avente un assegnato coefficiente angolare $m$.
Nel nostro caso $x_0=-1, y_0=2, m=2$
Sostituendo nell’equazione generale si ha:
$y-2=2(x+1)$;
sviluppando e raccogliendo i termini simili
$y-2=2x+2$;
$y=2x+4$.
Quest’ultima equazione rappresenta la retta passante per il punto $(-1;2)$ e di coefficiente angolare $2$
Per rappresentarla graficamente basta intersecare la retta con gli assi
${(y=2x+4),(x=0):} => {(y=4),(x=0):}$;
${(y=2x+4),(y=0):} => {(x=-2),(y=0):}$.

Scrivere l’equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta di equazione $y=sqrt3x$.

---

Svolgimento
Un fascio improprio di rette è rappresentato dalla seguente equazione
$y=mx+q$ con $q in RR$

Inoltre, nel nostro caso il fascio improprio di rette è parallelo alla retta $r:=y=sqrt3x$,
pertanto i coefficienti angolari sono uguali.
Il coefficiente angolare della retta $r$ sarà $m_r=sqrt3$, quindi $m_q=m_r=sqrt3$,
pertanto l’equazione che rappresenta ilfascio improprio di rette parallele a $r$ è:
$y=sqrt3x+q$ con $q in RR$.

Scrivere l’equazione del fascio improprio di rette perpendicolari alla retta di equazione $y=-2x$

---

Svolgimento
Un fascio improprio di rette è rappresentato dalla seguente equazione
$y=mx+k$ con $k in RR$

Inoltre, nel nostro caso il fascio improprio di rette è perpendicolare alla retta $r$, pertanto il prodotto
dei rispettivi coefficienti angolari è uguale a $-1$.
Il coefficiente angolare della retta $r$ sarà $m_r=-2$
Quindi, affinchè $m_k*m_r=-1$, dobbiamo risolvere l’equazione
$-2m_k=-1 => m_k=1/2$
Pertanto il coefficiente angolare del fascio improprio sarà: $m_k=1/2$, e quindi l’equazione che rappresenta
ilfascio improprio di rette perpendicolari a $r$ è:
$y=1/2x+k$ con $k in RR$.

Dopo aver osservato se la seguente coppia di rette sono incidenti o coincidenti o parallele distinte,
determinare, se possibile, le loro intersezioni
$x+y=5$ e $x-y=3$

---

svolgimento
Indichiamo con $r$ e$s$ rispettivamente le rette aventi equazione $x+y=5$ e $x-y=3$.
Ricordiamo che, prese due rette $r:=ax+by+c=0$ e $s:=a’x+b’y+c’=0$
$r,s$ sono incidenti $<=> a/a’!=b/b’$ con $(a’, b’!=0)$
$r,s$ sono coincidenti $<=> a/a’=b/b’=c/c’$ con $(a’, b’, c’!=0)$
$r,s$ sono parallele e distinte $<=> a/a’=b/b’!=c/c’$ con $(a’, b’, c’!=0)$.
Nel nostro caso abbiamo che:
$a=1, b=1, c=-5 ^^ a’=1, b’=-1, c’=-3$
quindi
$ a/a’=1 ; b/b’=-1 ; c/c’=(-5)/(-3)=5/3$.
Pertanto, essendo, $a/a’!=b/b’$ le due rette considerate sono incidenti.

Per determinare la loro intersezione, mettiamo a sistema le due equazionie risolviamolo
$\{(x+y=5),(x-y=3):}$;
$\{(3+y+y=5),(x=3+y):}$;
$\{(2y=2),(x=3+y):} \{(y=1),(x=3+1=4):}$;
Quindi il punto d’intersezione delle due rette sarà il punto $P(4;1)$.

Dopo aver osservato se la seguente coppia di rette sono incidenti o coincidenti o parallele distinte,
determinare, se possibile, le loro intersezioni
$x-sqrt2y=1$ e $sqrt2x-2y+2=0$

---

svolgimento
Indichiamo con $r$ e$s$ rispettivamente le rette aventi equazione $x-sqrt2y=1$ e $sqrt2x-2y+2=0$.
Ricordiamo che, prese due rette $r:=ax+by+c=0$ e $s:=a’x+b’y+c’=0$
$r,s$ sono incidenti $<=> a/a’!=b/b’$ con $(a’, b’!=0)$
$r,s$ sono coincidenti $<=> a/a’=b/b’=c/c’$ con $(a’, b’, c’!=0)$
$r,s$ sono parallele e distinte $<=> a/a’=b/b’!=c/c’$ con $(a’, b’, c’!=0)$.
Nel nostro caso abbiamo che:
$a=1, b=-sqrt2, c=-1 ^^ a’=sqrt2, b’=-2, c’=2$
quindi
$ a/a’=1/(sqrt2)=(sqrt2)/2 ; b/b’=(-sqrt2)/(-2)=(sqrt2)/2; c/c’=-1/2$.
Pertanto, essendo, $a/a’=b/b’!=c/c’$ le due rette considerate sono parallele e distinte.

Dopo aver osservato se la seguente coppia di rette sono incidenti o coincidenti o parallele distinte,
determinare, se possibile, le loro intersezioni
$2/3x-1/2y=3$ e $4x-3y-18=0$

---

svolgimento
Indichiamo con $r$ e$s$ rispettivamente le rette aventi equazione $2/3x-1/2y=3$ e $4x-3y-18=0$.
Ricordiamo che, prese due rette $r:=ax+by+c=0$ e $s:=a’x+b’y+c’=0$
$r,s$ sono incidenti $<=> a/a’!=b/b’$ con $(a’, b’!=0)$
$r,s$ sono coincidenti $<=> a/a’=b/b’=c/c’$ con $(a’, b’, c’!=0)$
$r,s$ sono parallele e distinte $<=> a/a’=b/b’!=c/c’$ con $(a’, b’, c’!=0)$.
Nel nostro caso abbiamo che:
$a=2/3, b=-1/2, c=-3 ^^ a’=4, b’=-3, c’=-18$
quindi
$ a/a’=(2/3)/4=1/6 ; b/b’=(-1/2)/(-3)=1/6; c/c’=-3/(-18)=1/6$.
Pertanto, essendo, $a/a’=b/b’=c/c’$ le due rette considerate sono coincidenti.

Dopo aver osservato se la seguente coppia di rette sono incidenti o coincidenti o parallele distinte,
determinare, se possibile, le loro intersezioni
$3x+2y=21$ e $2x-3y=1$

---

svolgimento
Indichiamo con $r$ e$s$ rispettivamente le rette aventi equazione $3x+2y=21$ e $2x-3y=1$.
Ricordiamo che, prese due rette $r:=ax+by+c=0$ e $s:=a’x+b’y+c’=0$
$r,s$ sono incidenti $<=> a/a’!=b/b’$ con $(a’, b’!=0)$
$r,s$ sono coincidenti $<=> a/a’=b/b’=c/c’$ con $(a’, b’, c’!=0)$
$r,s$ sono parallele e distinte $<=> a/a’=b/b’!=c/c’$ con $(a’, b’, c’!=0)$.
Nel nostro caso abbiamo che:
$a=3, b=2, c=-21 ^^ a’=2, b’=-3, c’=-1$
quindi
$ a/a’=3/2 ; b/b’=-2/3 ; c/c’=21/1=21$.
Pertanto, essendo, $a/a’!=b/b’$ le due rette considerate sono incidenti.

Per determinare la loro intersezione, mettiamo a sistema le due equazionie risolviamolo
$\{(3x+2y=21),(2x-3y=1):}$;
$\{(3x+2y=21),(x=(1+3y)/2):}$;
$\{(3(1+3y)/2+2y=21),(x=(1+3y)/2):}$;
$\{((3+9y)/2+2y=21),(x=(1+3y)/2):}$;
$\{((3+9y+4y-42)/2=0),(x=(1+3y)/2):}$;
$\{(3+9y+4y-42=0),(x=(1+3y)/2):} \{(13y=39),(x=(1+3y)/2):}$;
$\{(y=3),(x=(1+3*3)/2):} => \{(y=3),(x=(10)/2=5):}$.
Quindi il punto d’intersezione delle due rette sarà il punto $P(5;3)$.

Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e perpendicolare alla retta di equazione $2x-3y+sqrt(11)=0$.

---

Svolgimento
Indichiamo con $r$ la retta avente equazione $2x-3y+sqrt(11)=0$, e con $s$ la retta passante per l’origine e perpendicolare a $r$.
Dobbiamo ricavarci l’equazione della retta $s$.
La retta $s$ passando dall’origine, sarà rappresentata da un’equazione del tipo $y=mx$;
inoltre essendo perpendicolare a $r$, condizione necessaria e sufficiente, affinchè due rette, non parallele agli assi,
siano perpendicolari è che il prodotto dei loro coefficienti angolari sia uguale a $-1$.
Quindi calcoliamo il coefficiente angolare della retta $r$, cominciando con esplicitare l’equazione
di $r$ rispetto a $y$, e otteniamo
$y=2/3x+(sqrt(11))/3$
Quindi il coefficiente angolare di $r$ sarà $m_1=2/3$.
Troviamo ora il valore di $m_2$(coefficiente angolare di $s$), che soddisfa l’equazione:
$m_2*m_1=1$, ovvero $m_2=-3/2$.
Pertanto l’equazione della retta $s$, perpendicolare a $r$ e passante per l’origine, sarà: $y=-3/2x$.

 

Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e parallela alla retta di equazione $x+4y-1=0$.

---

Svolgimento
Indichiamo con $r$ la retta avente equazione $x+4y-1=0$, e con $s$ la retta passante per l’origine e parallela a $r$.
Dobbiamo ricavarci l’equazione della retta $s$.
La retta $s$ passando dall’origine, sarà rappresentata da un’equazione del tipo $y=mx$; inoltre essendo parallela a $r$,
avrà lo stesso coefficiente angolare, pertanto esplicitando l’equazione della retta $r$ rispetto a $y$, si ha:
$y=-1/4x+1/4$
Quindi il coefficiente angolare di $r$ sarà $m=-1/4$, coincidente con il coefficiente angolare della retta $s$, sarà:
$y=-1/4x$.

Una retta interseca gli assi coordinati nei punti $(0;-1/4),(1/8;0)$. Scriverne l’equazione e rappresentarla graficamente

---

Svolgimento
Indichiamo con $A$ e $B$ rispettivamente i punti di coordinate $(0;-1/4)$ e $(1/8;0)$.
La retta $r$ non è parallela ad alcun asse, poichè $x_2!=x_1$ e $y_2!=y_1$, e quindi la sua equazione avrà la forma:
$y=mx+q$ con $m$ e $q$ coefficienti da determinare.
Dobbiamo imporre che le coordinate di $A$ e $B$ verifichino l’equazione $y=mx+q$.
Se $A(0;-1/4) in r => -1/4=m*0+q => -1/4=q$.
Se $B(1/8;0) in r => 0=1/8m+q$.
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo
${(q=-1/4),(1/8m+q=0):}$;
${(q=-1/4),(1/8m-1/4=0):}$;
${(q=-1/4),((m-2)/8=0):}$;
${(q=-1/4),(m-2=0):} => {(q=-1/4),(m=2):}$;

Pertanto l’equazione della retta $r$ passante per $A$ e $B$ sarà:
$y=2x-1/4$

Scrivere l’equazione della retta passante per i punti $(1;-2/3)$ e $(6;1)$ e rappresentarla graficamente.

---

Svolgimento

Indichiamo con $A$ e $B$ rispettivamente i punti di coordinate $(1;-2/3)$ e $(6;1)$.
La retta $r$ non è parallela ad alcun asse, poichè $x_2!=x_1$ e $y_2!=y_1$, e quindi la sua equazione avrà la forma:
$y=mx+q$ con $m$ e $q$ coefficienti da determinare.
Dobbiamo imporre che le coordinate di $A$ e $B$ verifichino l’equazione $y=mx+q$.
Se $A(1;-2/3) in r => -2/3=m*1+q => -2/3=m+q$.
Se $B(6;1) in r => 1=6m+q$.
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo
${(-2/3=m+q),(1=6m+q):}$;
${(-2/3=m+q),(1-6m=q):}$;
${(-2/3=m+1-6m),(1-6m=q):}$; ${(-2/3-1=-5m),(1-6m=q):}$;
${((-2-3)/3=-5m),(1-6m=q):}$; ${(-5/3=-5m),(1-6m=q):}$;
${(1/3=m),(1-6*1/3=q):}$; ${(1/3=m),(1-2=q):}$;
${(1/3=m),(-1=q):}$;
Pertanto l’equazione della retta $r$ passante per $A$ e $B$ sarà:
$y=1/3x-1$
Per rappresentarla graficamente basta intersecare la retta con gli assi
${(y=1/3x-1),(x=0):} => {(y=-1),(x=0):}$;
${(y=1/3x-1),(y=0):} => {(1=1/3x),(y=0):} => {(3=x),(y=0):}$.

Determinare il coefficiente angolare della retta passante per $O(0;0)$ e per $A(sqrt2;2)$

---

Svolgimento

La retta $r$, passando per l’origine, sarà rappresentata da un’equazione del tipo $y=mx$.
Poichè la retta deve passare per $A(sqrt2;2)$, le coordinate di questo punto devono verificare l’equazione:
$2=m*(sqrt2) => m=2/(sqrt2)=(sqrt2)$.
Pertanto il coefficiente angolare della retta passante per $O(0;0)$ e per $A(sqrt2;2)$ è $m=sqrt2$.

Scrivere l’equazione della retta $r$ passante per l’origine $O(0;0)$ e per il punto $A(4;6);
verificare che $B(-2;-3) in r$ e che $C(2;7) notin r$

---

Svolgimento
La retta $r$, passando per l’origine, sarà rappresentata da un’equazione del tipo $y=mx$.
Poichè la retta deve passare per $A(4;6)$, le coordinate di questo punto devono verificare l’equazione:
$6=m*(4) => m=6/4=3/2$.
L’equazione di $r$ sarà quindi:
$y=3/2x$
che possiamo riscrivere come $2y-3x=0$.

Sostituendo nella disequazione al posto di $x$ e $y$ le coordinate di $B$ verifichiamo se tale punto appartiene a $r$.

$2y-3x=0$ diviene
$2(-3)-3(-2)=0 => -6+6=0 => 0=0$.
L’equazione è verificata, pertanto $B in r$
Con lo stesso procedimento verifichiamo l’appartenenza di $C$ ad $r$
$2y-3x=0$ diviene
$2*7-3*2=0 => 14-6=0 => 8=0$
L’equazione non è verificata, pertanto $C notin r$

Scrivere l’equazione della retta $r$ passante per l’origine $O(0;0)$ e per il punto $A(-4;1)$.

---

Svolgimento

La retta $r$, passando per l’origine, sarà rappresentata da un’equazione del tipo $y=mx$.
Poichè la retta deve passare per $A(-4;1)$, le coordinate di questo punto devono verificare l’equazione:
$1=m*(-4) => m=-1/4$.
L’equazione di $r$ sarà quindi:
$y=-1/4x$

Scrivere le equazioni delle rette, parallele agli assi, passanti per $A(-2;3)$.

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Svolgimento

Come è evidente dalla figura le equazioni richieste sono:
$x=-2$ o anche $x+2=0$ ed $y=3$ o anche $y-3=0$.

Determinare le intersezioni tra le curve rappresentate dalle seguenti equazioni:
$x^2+y^2-6x-8y=0$ e $3y-4x=0$.

---

Svolgimento
Mettiamo a sistema le due equazioni, e la soluzione indicherà le coordinate
del punto d’intersezione delle due curve

$\{(x^2+y^2-6x-8y=0),(3y-4x=0):} ; \{(x^2+y^2-6x-8y=0),(3y=4x):}$;
$\{(x^2+(4/3x)^2-6x-8(4/3)=0),(y=4/3x):}$;
$\{(x^2+(16)/9x^2-6x-(32)/3=0),(y=4/3x):}$;
$\{((1+(16)/9)x^2+(-6-(32)/3)x=0),(y=4/3x):}$;
$\{(((9+16)/9)x^2+((-18-32)/3)x=0),(y=4/3x):}$;
$\{((25)/9x^2-(50)/3x=0),(y=4/3x):}$;
$\{((25x^2-150x)/9=0),(y=4/3x):} ; \{(25x^2-150x=0),(y=4/3x):}$;
$\{(25x(x-6)=0),(y=4/3x):} \{(x_1=0 vv x_2=6),(y=4/3x):}$;
$\{(x_1=0),(y_2=0):} vv \{(x_2=6),(y_2=4/3*6=8):}$;$;

Quindi $O(0;0), P(6;8)$ saranno i punti d’intersezione delle due curve.

Determinare le intersezioni tra le curve rappresentate dalle seguenti equazioni:
$2x+y=7$ e $4y-x=10$.

---

Svolgimento
Mettiamo a sistema le due equazioni, e la soluzione indicherà le coordinate
del punto d’intersezione delle due curve

$\{(2x+y=7),(4y-x=10):}$;
$\{(y=7-2x),(4(7-2x)-x=10):}$;
$\{(y=7-2x),(28-8x-x=10):}$;
$\{(y=7-2x),(-9x=-18):}$;
$\{(y=7-2x),(x=2):}$; $\{(y=7-4=3),(x=2):}$.
Quindi $P(2;3)$ sarà il punto d’intersezione delle due curve.

Determinare i punti $P(a;a+3)$ appartenenti alla curva di equazione $2y^2-9(x+2)=0$

---

Svolgimento
I punti $P(a;a+3)$ appartengono alla curva di equazione $2y^2-9(x+2)=0$ se e solo se sostituendo i valori
$x=a$ e $y=a+3$
l’equazione è verificata
Procediamo con la sostituzione:
$2(a+3)^2-9(a+2)=0$;
$2(a^2+9+6a)-9a-18=0$;
$2a^2+18+12a-9a-18=0$;
Raccogliendo i termini simili
$2a^2+3a=0$
$a(2a+3)=0 => a=0 vv a=-3/2$.
Pertanto i punti $P(a;a+3)$ appartenenti alla curva sopra indicata saranno $P_1(0;3), P_2(-3/2;3/2)$.

Per quali valori del parametro reale $k$ la curva di equazione $y=x^3+kx+k^2-6k+5$ passa per l’origine?

---

Svolgimento

L’origine è indicata dal punto $O(0;0)$, per verificare se l’origine appartiene alla curva di equazione
$y=x^3+kx+k^2-6k+5$
sostituiamo i valori $x=0$ e $y=0$, e otteniamo
$0=0+0k+k^2-6k+5$;
$k^2-6k+5=0$;
Studiamo l’equazione di secondo grado

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-3)^2-(1*5)=9-5=4$
$k_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(3+-sqrt4)=3+-2 => k_1=1 vv k_2=5$.
Quindi per $k=5 vv k=1$ la curva di equazione $y=x^3+kx+k^2-6k+5$ passa per l’origine.

Quali sono le ascisse dei punti della curva di equazione $x^2-6x+3y+2=0$ aventi ordinata 1?

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Svolgimento

Indichiamo con $A$ e $B$ rispettivamente i punti di coordinate $(x_1;1),(x_2;1)$.
Dobbiamo verificare per quali valori di $x_1$ e $x_2$ questi due punti appartengono alla curva di equazione
$x^2-6x+3y+2=0$
Sostituendo nell’equazione il valore noto, $y=1$ otteniamo
$x^2-6x+3*1+2=0$;
$x^2-6x+5=0$
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-3)^2-(1*5)=9-5=4$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(3+-sqrt4)=3+-2 => x_1=1 vv x_2=5$.
Quindi i punti aventi ordinata $1$ e appartenenti alla curva di equazione $x^2-6x+3y+2=0$ saranno:
$A(1;1), B(5;1)$.

Si scriva l’equazione dell’asse del segmento i cui estremi sono i punti $(a;2),(6;4)$.
Si determini poi $a$ in modo che il punto $(2;3)$ appartenga a tale asse.

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Svolgimento
Indichiamo con $A$ il punto di coordinate $(a;2)$ e con $B$ quello di coordinate $(6;4)$

L’asse di un segmento è il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento $\bar{AB}$;
cioè $P$ è un puno dell’asse di $\bar{AB}$, se e solo se si ha:
$\bar{AP}=\bar{PB}$.
Indichiamo con (x,y) le coordinate del generico punto e ricordando la formula della
distanza tra due punti nel piano cartesiano:
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$
La relazione
$\bar{AP}=\bar{PB}$
la possiamo riscrivere nel seguente modo:
$sqrt((x-a)^2+(y-2)^2)=sqrt((x-6)^2+(y-4)^2)$
Elevando al quadrato ambo i membri dell’equazione, sviluppando i calcoli e semplificando si ha:
$(x-a)^2+(y-2)^2=(x-6)^2+(y-4)^2$;
$x^2+a^2+2ax+y^2-4y+4=x^2+36-12x+y^2+16-8y$;
$12x-2ax+4y-48+a^2=0$.
$2x(6-a)+4y-48+a^2=0$
Quest’ultima rappresenta l’equazione dell’asse di $\bar{AB}$:

Indicando con $C$ il punto di coordinate $(2;3)$, dobbiamo verificare per quali valori di $a$
il punto appartiene all’asse, ovvero per quali valori di $a$ le sue coordinate soddisfano l’equazione
$2x(6-a)+4y-48+a^2=0$.
Sostituendo in tale equazione: $x=2 ^^ y=3$, otteniamo
$2*2(6-a)+(4+3)-48+a^2=0$;
$4(6-a)+12-48+a^2=0$;
$24-4a+12-48+a^2=0$;
Semplificando
$a^2-4a-12=0$
Risolviamo l’equazione di secondo grado:

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-2)^2-(1*(-12))=4+12=16$
$a_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(2+-sqrt(16))=2+-4 => a_1=6 vv a_2=-2$.

Quindi l’equazione è verificata per $a_1=6 vv a_2=-2$.

Si determini l’equazione della circonferenza con centro nell’origine e raggio $1$.

---

Svolgimento
I punti appartenenti a questa circonferenza sono quelli aventi distanza dall’origine pari a $1$,
cioè la circonferenza considerata è il luogo geometrico dei punti $P$ del piano per cui si ha:
$ar{OP}=5$.
Indicando con $(x,y)$ le coordinate del generico punto $P$ e tenendo presente la formula che esprime
la distanza tra due punti nel piano cartesiano:
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$
L’eguaglianza $ar{OP}=1$, la possiamo così riscrivere:
$sqrt((x-0)^2+(y-0)^2)=1$;
$sqrt(x^2+y^2)=1$
Elevando al quadrato ambo i membri dell’equazione
$x^2+y^2=1$;
$x^2+y^2-1=0$
Quest’ultima rappresenta l’equazione della circonferenza con centro nell’origine e raggio $1$.

Si determini l’equazione della circonferenza con centro nell’origine e raggio $5$.

---

Svolgimento

I punti appartenenti a questa circonferenza sono quelli aventi distanza dall’origine pari a $5$,
cioè la circonferenza considerata è il luogo geometrico dei punti $P$ del piano per cui si ha:
$ar{OP}=5$.
Indicando con $(x,y)$ le coordinate del generico punto $P$ e tenendo presente la formula che esprime
la distanza tra due punti nel piano cartesiano:
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$
L’eguaglianza $ar{OP}=5$, la possiamo così riscrivere:
$sqrt((x-0)^2+(y-0)^2)=5$;
$sqrt(x^2+y^2)=5$
Elevando al quadrato ambo i membri dell’equazione
$x^2+y^2=25$;
$x^2+y^2-25=0$
Quest’ultima rappresenta l’equazione della circonferenza con centro nell’origine e raggio $5$.

Si scriva l’equazione dell’asse del segmento di estremi $A(-1;-1); B(1;1)$

---

L’asse di un segmento è il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento $\bar{AB}$;
cioè $P$ è un puno dell’asse di $\bar{AB}$, se e solo se si ha:
$\bar{AP}=\bar{PB}$.
Indichiamo con (x,y) le coordinate del generico punto e ricordando la formula della
distanza tra due punti nel piano cartesiano:
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$
La relazione
$\bar{AP}=\bar{PB}$
la possiamo riscrivere nel seguente modo:
$sqrt((x+1)^2+(y+1)^2)=sqrt((x-1)^2+(y-1)^2)$
Elevando al quadrato ambo i membri dell’equazione, sviluppando i calcoli e semplificando si ha:
$(x+1)^2+(y+1)^2=(x-1)^2+(y-1)^2$;
$x^2+1+2x+y^2+2y+1=x^2+1-2x+y^2+1-2y$;
$4x+4y=0$.
Dividendo ambo i membri per $4$, otteniamo l’equazione dell’asse di $\bar{AB}$:
$x+y=0$.

Il triangolo $hat{ABC}$ ha per vertici $A(1;3); B(1/2;3/2); C(2;1)$.Verificare che l triangolo è isoscele
e determinre le misure del perimetro e dell’aria.

---

Svolgimento

Per perimetro si intende la somma dei segmenti $ar(AB), ar(BC), ar(AC)$.
Quindi calcoliamo le misure dei seguenti segmenti:
$ar(AB)=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)=sqrt((1/2-1)^2+(3/2-3)^2)=sqrt((-1/2)^2+((3-6)/2)^2)=sqrt(1/4+(-3/2)^2)=$
$=sqrt(1/4+9/4)=sqrt((10)/4)=1/2sqrt(10)$
$ar(AC)=sqrt((x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2)=sqrt((2-1)^2+(1-3)^2)=sqrt(1+4)=sqrt5$
$ar(BC)=sqrt((x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2)=sqrt((2-1/2)^2+(1-3/2)^2)=sqrt(((4-1)/2)^2+((2-3)/2)^2)=$
$=sqrt((3/2)^2+(-1/2)^2)=sqrt(9/4+1/4)=sqrt((10)/4)=1/2sqrt(10)$

Pertanto $2p=ar(AB)+ar(BC)+ar(AC)=sqrt5+1/2sqrt(10)+1/2sqrt(10)=sqrt5+sqrt(10)=sqrt5(sqrt2+1)$.

Inoltre possiamo ire che il triangolo $hat{ABC}$ è isoscele, poichè $ar{AB}=ar{BC}$.
Pertanto $ar{AC}$ sarà la base del triangolo.
Lìarea del riangolo è data dalla formula: $A=(b*h)/2$.
Dobbiamo calcolare l’altezza, cioè il segmento avente come uno dei vertici il punto $B$
e come secondo vertice il punto medio del segmento $ar{AC}$.
Calcoliamo il punto medio, che indicheremo con $M$, del segmento $ar{AC}$.

Le coordinate del punto medio di un segmento sono le semisomme (medie aritmetiche)
delle coordinate omonime degli estremi.
In formule
$x_M=(x_2+x_1)/2 ^^ y_M=(y_2+y_1)/2$.
Nel nostro caso, si ha:
$x_M=(1+2)/2=3/2 ^^ y_M=(3+1)/2=2$.
Quindi il punto medio sarà $M(3/2;2)$.

Calcoliamo quindi la misura del segmento $ar{BM}$

$ar(BM)=sqrt((x_M-x_2)^2+(y_M-y_2)^2)=sqrt((3/2-1/2)^2+(2-3/2)^2)=sqrt((2)^2+((4-3)/2)^2)=$
$=sqrt(4+1/4)=sqrt((4+1)/4)=sqrt(5/4)=1/2sqrt5$.
Pertanto
$A=(b*h)/2=((ar{AC})*(ar{BM}))/2=(sqrt5*1/2sqrt5)/2=5/4=1,25$.

Il punto medio di un segmento ha le coordinate $(3;-5)$ e uno degli estremi è il punto $(1;-3)$;
trovare le coordinate dell’altro estremo.

---

Svolgimento
Indichamo con $M$ il punto medio, quindi $M(3,-5)$ e con $B$ l’estremo di coordinate $(1;-3)$.
Dobbiamo ricavare il punto $A(x_1,y_1)$ in modo tale che $M(3,-5)$ sia il punto medio del segmento $\bar{AB}$.
Noi sappiamo che le coordinate del punto medio di un segmento sono le semisomme (medie aritmetiche)
delle coordinate omonime degli estremi.
Quindi indichiamo con $M$ il punto medio del segmento $\bar{AB}$, le sue coordinate saranno (x_M;y_M),
dove
$x_M=(x_2+x_1)/2 ^^ y_M=(y_2+y_1)/2$.
Sostituiamo alle incognite i valori che conosciamo, ed avremo:
$3=(x_1+1)/2 ^^ -5=(y_1-3)/2$
Risolviamo le due equazioni
1)$3=(x_1+1)/2$;
Il m.c.m. è $2$
$(x_1+1-6)/2=0$;
moltiplichiamo ambo i membri per $2$
$x_1-5=0 => x_1=5$.

2)$-5=(y_1-3)/2$;
Il m.c.m. è $2$
$(y_1-3+10)/2=0$;
moltiplichiamo ambo i membri per $2$
$y_1+7=0 => y_1=-7$.
Pertanto l’estremo $A$ avrà coordinate$(5;-7)$.

Calcolare le coordinate del punto medio del segmento $\bar{AB}$, essendo $A(sqrt2-1;3); B(sqrt2+1;-5)$.

---

Svolgimento
Le coordinate del punto medio di un segmento sono le semisomme (medie aritmetiche)
delle coordinate omonime degli estremi.
Quindi indichiamo con $M$ il punto medio del segmento $\bar{AB}$, le sue coordinate saranno (x_M;y_M),
dove
$x_M=(x_2+x_1)/2 ^^ y_M=(y_2+y_1)/2$.
Pertanto presi  $A(sqrt2-1;3); B(sqrt2+1;-5)$ si ha
$x_M=(sqrt2+1+sqrt2-1)/2=(2sqrt2)/2=sqrt2 ^^ y_M=(-5+3)/2=-2/2=-1$.
Quindi il punto medio del segmento $\bar{AB}$ sarà $M(sqrt2;-1)$.

Dati i punti $A(-k;0); B(-2;0); C(2+k;2sqrt3)$, determinare $k$ in modo che sia $\bar{AC}\sim=\bar{BC}$
e verificare poi che il triangolo $hat{ABC}$ così ottenuto è equilatero.

---

Svolgimento

Calcoliamo le misure dei segmenti $\bar{AC}$ e $\bar{BC}$.

$\bar(BC)=sqrt((x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2)=sqrt((2+k-2)^2+(2sqrt3-0)^2)=sqrt(k^2+12)$
$\bar(AC)=sqrt((x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2)=sqrt((2+k+k)^2+(2sqrt3-0)^2)=sqrt((2+2k)^2+(4*3))=$
$=sqrt(4+4k^2+8k+12)=sqrt(4k^2+8k+16)=sqrt(4(k^2+2k+4))=2sqrt(k^2+2k+4)$.

Troviamo il valore di $k$ che soddisfi la seguente equazione:
$2sqrt(k^2+2k+4)=sqrt(k^2+12)$;
Eleviamo ambo i membri al quadrato:
$4(k^2+2k+4)=k^2+12$;
$4k^2+8k+16=k^2+12$;
Semplificando
$3k^2+8k+4=0$
Risolviamo l’equazione di secondo grado:

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(4)^2-(3*4)=16-12=4$
$k_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(-4+-sqrt4)/3=(-4+-2)/3 => k_1=-2 ^^ k_2=-2/3$.

Pertanto per $k=-2 vv k=-2/3$, avremo $\bar{AC}\sim=\bar{BC}$.
Infatti
Per k=-2, si ha:
$\bar(B’C’)=sqrt(k^2+12)=sqrt((-2)^2+12)=sqrt(4+12)sqrt(16)=4$
$\bar(A’C’)=2sqrt(k^2+2k+4)=2sqrt((-2)^2+2(-2)+4)=2sqrt(4-4+4)=2sqrt(4)=2*2=4$.

Per k=-2/3, si ha:
$\bar(B”C”)=sqrt(k^2+12)=sqrt((-2/3)^2+12)=sqrt(4/9+12)sqrt((4+108)/9)=sqrt((112)/9)=4/3sqrt7$
$\bar(A”C”)=2sqrt(k^2+2k+4)=2sqrt((-2/3)^2+2(-2/3)+4)=2sqrt(4/9-4/3+4)=2sqrt((4-12+36)/9)=sqrt((28)/9)=4/3sqrt7$.

Ora calcoliamo il segmento $\bar{AB}$ e verifichiamo se per $k=-2 vv k=-2/3$, il triangolo $\hat{ABC}$ è equilatero

Possiamo notare che il segmento $\bar(AB)$ è parallello all’asse delle ascisse,
cioè $y_1=y_2=1+sqrt7$.
Pertanto la loro distanza è il valore assoluto della differenza delle loro ascisse
$d=|x_2-x_1|=|-2+k|=|k-2|$.

Per $k=-2$
$\bar(A’B’)=|k-2|=|-2-2|=|-4|=4=\bar{A’C’}=\bar{B’C’}$.
Per $k=-2/3$
$\bar(A”B”)=|k-2|=|-2/3-2|=|(-2-6)/3|=|-8/3|=8/3!=4/3=\bar{A”C”}=\bar{B”C”}$.

Pertanto per $k=-2$ si ha che $\bar{AC}\sim=\bar{BC}$ e il triangolo $\hat{A’B’C’}$
equivalente al triangolo $\hat{ABC}$ è equilatero.

Dati i punti $A(2;3-k); B(2;2k-7)$, determinare per quali valoridi $k$ è $\bar{AB}=2$

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Svolgimento
Possiamo notare che il segmento $\bar(AB)$ è parallello all’asse delle ordinate,
cioè $x_1=x_2=2$.
Pertanto la loro distanza è il valore assoluto della differenza delle loro ordinate
$d=|y_2-y_1|=|2k-7-(3-k)|=|-3+k+2k-7|=|3k-10|$.

Affinchè $\bar{AB}=2$, dobbiamo risolvere la seguente equazione:
$|3k-10|=2$

Studiamo il segno dell’argomento del modulo
$3k-10>=0$;
$3k>=10 => k>=(10)/3$.

Quindi per $k>=(10)/3$, si ha:
$|3k-10|=2$
è equivalente all’equazione
$3k-10=2$;
$3k=12 => k=4$

Soluzione accettabile, poichè $k=4>(10)/3$.

Mentre, per $k<(10)/3$ abbiamo
$|3k-10|=2$
è equivalente all’equazione
$-3k+10=2$;
$-3k=-8 => k=8/3$

Soluzione accettabile, poichè $k=8/3<(10)/3$.

Pertanto affinchè $\bar{AB}=2$, deve essere $k=4 ^^ k=8/3$.

Verificare che il quadrangolo di vertici $A(2;2); B(8;2); C(10;5); D(4;5)$ è un parallelogrammo.

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Svolgimento

 

 

 

 

 

 

 

 

Per dimostrare che il quadrangolo ottenuto è un parallelogrammo basta verificare che i lati opposti sono uguali, cioè
$ar(AB)=ar(DC) ^^ ar(BC)=ar(AD)$.
Calcoliamo il segmento $ar(AB)$

Possiamo notare che il segmento $ar(AB)$ è parallello all’asse delle ascisse,
cioè $y_1=y_2=2$.
Pertanto la loro distanza è il valore assoluto della differenza delle loro ascisse
$d=|x_2-x_1|=|8-2|=|6|=6$.

Calcoliamo $ar{DC}$

Possiamo notare che il segmento $ar(DC)$ è parallello all’asse delle ascisse,
cioè $y_3=y_4=5$.
Pertanto la loro distanza è il valore assoluto della differenza delle loro ascisse
$d=|x_4-x_3|=|4-10|=|-6|=6$.
Quindi $ar(AB)=ar(DC)$

Calcoliamo ora $ar(AD)$ e $ar(BC)$
$ar(AD)=sqrt((x_4-x_1)^2+(y_4-y_1)^2)=sqrt((4-2)^2+(5-2)^2)=sqrt(4+9)=sqrt(13)$
$ar(BC)=sqrt((x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2)=sqrt((10-8)^2+(5-2)^2)=sqrt(4+9)=sqrt(13)$
Quindi $ar(AD)=ar(BC)$.
Pertanto abbiamo verificato che il quadrangolo di vertici $A(2;2); B(8;2); C(10;5); D(4;5)$ è un parallelogrammo.

Verificare che il triangolo di vertici $A(3;0); B(-3;0); C(0;-3sqrt3)$ è equilatero.

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Svolgimento

 

 

 

 

 

 

 

 

Dobbiamo dimostrare che i tre lati sono uguali tra loro.

Calcoliamo le misure dei tre segmenti

$ar(AB)=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)=sqrt((-3-3)^2+(0-0)^2)=sqrt(36)=6$
$ar(AC)=sqrt((x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2)=sqrt((0-3)^2+(-3sqrt3-0)^2)=sqrt(9+(9*3))=sqrt(36)=6$
$ar(BC)=sqrt((x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2)=sqrt((0+3)^2+(-3sqrt3-0)^2)=sqrt(9+(9*3))=sqrt(9+27)=sqrt(36)=6$

Quindi, essendo $ar(AB)=ar(AC)=ar(BC)=6$, il triangolo $hat{ABC}$ è equilatero.

Verificare che il triangolo di vertici $A(4;0); B(0;3); C(1;-4)$ è isoscele.

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Svolgimento

 

 

 

 

 

 

 

Dobbiamo dimostrare che due segmenti sono uguali tra loro.

Calcoliamo le misure dei tre segmenti

$ar(AB)=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)=sqrt((0-4)^2+(3-0)^2)=sqrt(16+9)=sqrt(25)=5$
$ar(BC)=sqrt((x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2)=sqrt((1-0)^2+(-4-3)^2)=sqrt(1+49)=sqrt(50)=5sqrt2$
$ar(AC)=sqrt((x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2)=sqrt((1-4)^2+(4-0)^2)=sqrt(9+16)=sqrt(25)=5$

Quindi, essendo $ar(AB)=ar(AC)=5$, il triangolo $hat{ABC}$ è isoscele.