Il calcolo infinitesimale è stato uno degli strumenti più importanti per lo sviluppo di molte teorie nel campo delle scienze e in particolare della matematica. Margaret Baron nel suo The origins of the infinitesimal calculus paragona il concetto di calcolo ad un grande albero con le radici nell’aritmetica, nell’algebra e nella geometria, e un potente tronco a sostegno di una vasta rete di rami: l’albero cresce in altezza quanto più forti sono le radici e i rami, poi una volta separate dalle principali le discipline si diramano ulteriormente, fino a divergere così tanto da mai più riunirsi.
Il calcolo infinitesimale è stato il principale strumento per l’esplorazione delle risorse della terra, per i grafici dei cieli, per la costruzione della moderna tecnologia e in quelle applicazioni che si verificano ovunque esistano fenomeni misurabili: gravitazione, calore, luce, suono, elettricità, magnetismo e onde radio.
Praticamente ogni importante sviluppo scientifico e matematico dal 1600 al 1900 è stato collegato in un modo o in un altro al metodo differenziale o integrale. “Ritengo di poter affermare che nessuna disciplina scientifica ha avuto sulle altre Scienze un impatto così vasto e profondo come il Calcolo infinitesimale. Esso ha costituito un’autentica svolta nell’umano pensiero e, con le scoperte scientifiche che ha originato e le realizzazioni tecniche che ha permesso, ha contribuito, in modo determinante, al progresso ed al benessere del genere umano […].”
Il calcolo, tuttavia, è molto di più di uno strumento tecnico: si tratta di una raccolta di idee matematiche astratte accumulate per lunghi periodi di tempo. Il fondamento e il concetto centrale di oggi, però, non sono ciò che sono stati negli ultimi secoli. La forza unificante e la ricchezza del suo campo di applicazione dipendono non solo da ciò che il calcolo è ora, ma da tutti i concetti che hanno contribuito in un modo o nell’altro alla sua evoluzione.
È sbagliato però pensare che il problema dell’infinitamente piccolo sia sorto solo in tempi così moderni, poiché ne troviamo tracce anche nell’antichità, soprattutto nella matematica greca. Allora la mentalità e i problemi analizzati presupponevano un metodo diverso di procedere, cercando di ridurre il conflitto tra le richieste di rigore matematico e la natura dell’infinitamente grande e dell’infinitamente piccolo che conduceva continuamente a paradossi e anomalie. Tra i tanti matematici greci che si occuparono di questi problemi spicca la figura di Archimede di Siracusa.
Archimede può in qualche modo essere concepito come il precursore di quella fisica-matematica che oggi si basa quasi esclusivamente su procedimenti infinitesimali. Egli fornisce un vero e proprio metodo di analisi volto a divulgare questi procedimenti giudicati importanti dallo stesso matematico siracusano. I problemi affrontati da Archimede e qui riproposti sono poco o quasi per nulla conosciuti e affrontati nella scuola forse perché ritenuti troppo prolissi e complicati.
È noto il fatto che le questioni di cui si occupava Archimede erano tra le più insolite, ma proprio questo le rendeva sicuramente interessanti e stimolanti.
In questo lavoro abbiamo provato ad affrontare questi problemi cercando di utilizzare metodi nuovi e strumenti tecnici che potrebbero essere efficaci.
Facendo uso del Cabri Géomètre abbiamo realizzato disegni dinamici e non, che ci hanno permesso sia di semplificare le stesse dimostrazioni di Archimede, sia di proporne altre che, grazie alla dinamicità della figura, si riducono a pochi passaggi. Prendendo spunto dal pensiero di Jacques Hadamard che nel 1945 così scrive sulla psicologia dell’invenzione in campo matematico: “l’invenzione è scelta” e “questa scelta è governata dal senso della bellezza”, abbiamo cercato prevalentemente di realizzare disegni esteticamente piacevoli, puntando sull’accostamento dei colori, su chiaroscuri e trasparenze in modo da evidenziare i particolari. Abbiamo ancora cercato di essere più chiari e brevi possibile, provando ad utilizzare i colori in luogo delle lettere in maniera tale da evidenziare le figure e associando i file di Cabri, che permettono il “movimento” delle figure stesse, per cercare di ridurre al massimo i passaggi matematici. Tutto questo con lo scopo di alleggerire e rendere “appetibili” le dimostrazioni archimedee e provare così ad utilizzarle anche a scuola, cercando di stimolare l’intuizione e le capacità intellettive dello studente.
La tesi si divide in 4 capitoli.
Il primo vuole mettere in evidenza alcuni aspetti didattici del calcolo infinitesimale, come viene proposto a scuola e alcune difficoltà che potrebbe suscitare negli studenti.
Nel secondo capitolo vengono presentati gli strumenti didattici che potrebbero essere d’aiuto al processo di apprendimento degli studenti. Questi strumenti sono di facile utilizzo, ma purtroppo ancora poco introdotti nelle scuole italiane.
Nel terzo capitolo abbiamo esposto le descrizioni dei periodi storici, presentando il pensiero matematico dei greci ed in particolar modo lo sviluppo del concetto di “indivisibile”, passando da Democrito ad Aristotele, Eudosso ed Euclide, fino ad arrivare ad Archimede. Del famoso matematico siracusano abbiamo dato una breve biografia, con noti aneddoti (leggendari e non) sulla sua vita ed accennato ad alcuni suoi importanti lavori, al fine di fornire un quadro più completo possibile della situazione in cui le scoperte matematiche sono state fatte. Pensiamo, infatti che, la storia fornisca un ottimo supporto per capire il significato di molti avvenimenti. Non di meno gli aneddoti storici e i percorsi che portano i matematici alle loro scoperte, potrebbero stimolare la curiosità e offrire motivazioni in più per lo studio. Infine, negli ultimi due paragrafi di questo capitolo abbiamo esposto, nelle linee generali e con un esempio, il Metodo di Esaustione di Eudosso e il Metodo meccanico di Archimede, quest’ultimo basato sull’equilibrio della leva.
L’ultimo capitolo contiene le dimostrazioni archimedee e alcune proposte di dimostrazioni differenti degli stessi risultati. In particolare abbiamo trattato:
1) lo studio dell’"unghia cilindrica",
2) l’intersezione di due cilindri retti (problemi presenti nel Metodo, ritrovato solo nel 1906),
3) l’area della spirale di Archimede.
In queste dimostrazioni abbiamo cercato di affiancare ai passaggi matematici di Archimede, alcune figure (non presenti nel testo archimedeo) che li potessero chiarire meglio. Abbiamo realizzato alcune "bilance", per provare a rendere visibile l’applicazione del principio della leva di cui Archimede si serve in queste dimostrazioni. E nella seconda dimostrazione riguardante l’"unghia cilindrica", abbiamo provato a utilizzare le "funzioni" (strumento sconosciuto ad Archimede) per rendere scorrevoli alcuni passaggi. Infatti, in questa dimostrazione si possono trovare molti richiami a proposizioni presenti in altre opere, come le Coniche di Apollonio, gli scritti di Aristotele e Euclide o ancora opere archimedee precedenti al Metodo.
Successivamente abbiamo provato a semplificare le stesse dimostrazioni archimedee e a servirci di questi risultati per ottenere da esse altri risultati e considerazioni. Sfruttando il movimento prodotto da Cabri abbiamo ricavato l’area della superfice e il volume della sfera, l’area della superfice e il volume dell’unghia cilindria e l’area della sinusoide con dimostrazioni geometriche e "dinamiche". Attraverso una nuova trasformazione, la "radialità", che permette di avvolgere una figura attorno ad un cerchio in modo tale da avere una certa proporzionalità tra l’area della superfice della figura di partenza e quella ottenuta dopo la trasformazione, abbiamo ricavato, oltre all’area della spirale di Archimede, anche quella della cardioide, e abbiamo dato vita ad alcuni "fiori" grazie alla trasformazione radiale di un cerchio.
Indice
INTRODUZIONE
Capitolo 1
ALCUNI ASPETTI DIDATTICICI DEL CALCOLO INFINITESIMALE
1.1 Calcolo infinitesimale a scuola
1.2 Calcolo infinitesimale e il computer
1.3 Dimostrazioni matematiche e immagini mentali
Capitolo 2
STRUMENTI DIDATTICI
2.1 Gli strumenti a disposizione: ieri e oggi
2.1.1 Le calcolatrici grafiche
2.1.2 Un nuovo software: il CABRI GÉOMÈTRE
2.1.3 Un aiuto dalla rete: il CABRI JAVA
2.2 Le motivazioni per l’utilizzo di software di geometria dinamica (DGS
Capitolo 3
LE RADICI DEL CALCOLO INFINITESIMALE
3.1 Il pensiero matematico greco
3.2 Archimede di Siracusa
3.3 Il metodo di esaustione
3.4 Un esempio del metodo di esaustione tratto dalla Misura del cerchio
3.5 Il Metodo meccanico di Archimede
Capitolo 4
TEOREMI ANTICHI CON NUOVE SOLUZIONI
4.1 Due teoremi dal Metodo di Archimede
4.1.1 L’unghia cilindrica
– I risultati di Archimede
– Nuove soluzioni e applicazioni
– Area e volume della sfera
– Area della superficie curva e volume dell’unghia cilindrica
– Area della sinusoide
4.1.2 L’intersezione dei cilindri
– Il risultato di Archimede
– Nuova soluzione e alcune considerazioni
4.2 Da Sulle Spirali
4.2.1 La spirale di Archimede
– L’area della spirale determinata da Archimede
– Le “radialità
– Area della spirale di Archimede (Nuova soluzione
– Calcolo di altre aree
– Area dell’artiglio
– Area della cardioide
– Area del solido iperbolico acutissimo
APPENDICE 1: Somma dei quadrati degli interi
APPENDICE 2: Elenco dei siti che utilizzano CABRI Géomètre e CABRI JAVA
BIBLIOGRAFIA
ACCASCINA G., TOMASI L., Intervista a Jean-Marie Laborde, l’ideatore di Cabri Géomètre, “CABRIRRSAE” Bollettino degli utilizzatori di Cabri Géométre, Ottobre 2003, n° 37.
ACCASCINA, G., BATINI, M., DEL VECCHIO, F., MARGIOTTA, G., PIETROPOLI, E., VALENTI D., Problem posing e problem solving con Cabri, Progetto Alice, n° 14, 2004, 217-242.
ATIYAH M. F., Siamo tutti matematici, Di Renzo Editore, Roma 2007.
BAGNI G. T., Il metodo di esaustione nella storia dell’analisi infinitesimale, Periodico di Matematiche VII, 4, 1/2 1997, 15-33.
BARON M. E., The origins of the infinitesimal calculus, Pergamon, 1969.
BARONCELLI G., BUCCIANTINI M. E PORTA M., E. J. Dijksterhuis, Archimede. Con un saggio bibliografico di Wilbur R. Knorr, Ponte delle Grazie, Firenze, 1989.
BARRA M. ET ALII, Movimento, percezione e dimostrazione. L´insegnamento della matematica e delle scienze integrate, Progetto Alice, Vol.29A-B, n° 4, 2006, 313-346. BARRA M., Avviamento alla dimostrazione e all’uso di simboli attraverso termini concreti. Trasformazioni dei poliedri platonici in poliedri archimedei, Progetto Alice, Vol. 7, n° 7, 2006, 209 – 240.
BARRA M., Cabri e i suoi aspetti dinamici per calcolare in modo nuovo le misure della sfera, il volume del cono, le sezioni del cilindro e le aree della sinusoide e della “cordiforme”. Applicazioni alla cartografia, Progetto Alice, Vol. 5, n° 14, 2004, 271 – 304.
BARRA M., Knowing how to prove, in Proceedings of the XXXVII, CIEAEM (Leiden,1985),1986, 206-215, e in Proceedings of the IV-éme Ecole d’Eté de Didactique des Mathematiques (Orleans,1986), 175-183.
BARRA M., Una nuova trasformazione non lineare resa possibile dalle proprietà dinamiche di Cabri: gli avvolgimenti radiali. Baricentro della sinusoide, area del cerchio, della spirale di Archimede, della Cardioide e di altre curve, determinati in modo nuovo. Fiori matematici, Progetto Alice, Vol. 5, n° 14, 2004, 305 – 330.
BARTOCCI C., Geometria e caso: scritti di matematica e fisica di Henri Poincaré, Bollati Boringhieri, Torino, 1995.
BONAVOGLIA P., Il ritorno all’infinitesimo, Progetto Alice, Vol. 5, n° 14, 2004, 345 – 365. BORTOLOTTI E., L’Opera geometrica di Evangelista Torricelli, Monatsh. Math. Phys. 48, 1939, 457-486. BOYER C. B., Storia della matematica, Oscar Saggi Mondadori, Milano, 1980.
CASTELNUOVO E., 1982, Didattica della matematica, La Nuova Italia, Firenze, 1982.
CASTELNUOVO E., L’ officina matematica. Ragionare con i materiali, La Meridiana, Molfetta, 2008.
CASTELNUOVO G., Le origini del calcolo infinitesimale nell’era moderna, Zanichelli, Bologna, 1962.
CELENTANO A., CRESPINA E., Sull’insegnamento dell’analisi infinitesimale nella scuola: considerazioni e proposte, Progetto Alice, Vol. 5, n° 14, 2004, 367 – 387. CRESCI L., Le curve celebri. Invito alla storia della matematica attraverso le curve piane più affascinanti, Franco Muzzio Editore, Roma, 2006. CRESPINI E., CabriJava: Analisi di costruzioni interattive, Progetto Alice, Vol. 5, n° 14, 2004, 389 – 406. DE FINETTI B., Contro la matematica per deficienti, Periodico di matematiche, n°1-2 maggio, Zanichelli, Bologna, 1965. DE FINETTI B., Matematica Logico Intuitiva, Edizioni Cremonese, Roma, 1959. FICHERA G., Il calcolo infinitesimale alle soglie del duemila, Rend. Suppl. Acc.Lincei, s. 9, v. 4, 1993, 69-86. FRAJESE A., MACCIONI L., Gli elementi di Euclide, Utet, Torino, 1970. FRAJESE A., Opere di Archimede, Editrice torinese, Torino, 1974. GIUSTI E., Bonaventura Cavalieri and the theory of indivisibles, Edizioni Cremonese, Firenze, 1980. HADAMARD J., La psicologia dell’invenzione in campo matematico, a cura di B.Sassoli, Cortina, 1993. HEATH T., A Hystory of Greek Mathematics, Dover Publications, New York, 1981. HEATH T., The Works of Archimedes, Dover Publications, New York, 2002. HEIBERG J. L., Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii, iterum edidit, Vol I, II, III, Lipsiae, 1910. LOMBARDO RADICE L., La matematica da Pitagora a Newton, Editori riuniti, Roma, 1992. LORIA G., Le scienze esatte nell’antica Grecia, Hoepli, Milano, 1914. NAPOLITANI PIER DANIELE, “Le scienze”, Archimede, Ottobre 2001, anno IV, n° 22. NETZ R. E NOEL W., Il codice perduto di Archimede. La storia di un libro ritrovato e dei suoi segreti matematici, BUR saggi, 2008. RUFINI E., Il “metodo” di Archimede e le origini del calcolo infinitesimale nell’antichità, Casa editrice di Alberto Stock, Roma, 1926. The Archimedes Palimpsest. Thursday 29 October 1998, Christie’s, New York, 1998. VER EECKE P., Les coniques d’Apollonius de Perge, Desclee, De Brouwer et Cie, Bruges, 1923. ZEUTHEN H. G., Histoire des mathematiques dans l’antiquite et le moyen Age, a cura di J. Mascart Gauthier-Villars, Paris, 1902. SITOGRAFIA – http://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/contents.html
http://www.mcs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/contents.html – http://www.thewalters.org/archimedes/frame.html
– http://www.archimedespalimpsest.org/
– http://www.history.mcs.st-and.ac.uk/
– www.fardiconto.it
– http://education.ti.com/
– http://www.arkeomania.com/macchinearchimede.html
– http://www.mondogreco.net/archimede.htm
– http://www.medioevoitalia.com/italia/index
– http://www.galleriaroma.it/Siracusa/Monumenti/Monumenti%20Greci/La tomie.htm
– http://www.matmedia.it
– http://www.ibolli.it/
– http://www.astrofilisiciliani.org
– http://brunelleschi.imss.fi.it/museum/isim.asp?c=500164
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