Nelle pagine che seguono affronteremo la costruzione rigorosa dei numeri reali effettuata verso la fine del secolo scorso (1872) da Georg Cantor. La costruzione di Cantor fu la prima costruzione rigorosa dell’insieme dei numeri reali e fu contemporanea ad un’altra costruzione, altrettanto rigorosa, effettuata da R. Dedekind. La coincidenza temporale delle due costruzioni non é casuale: nacque infatti da una precisa esigenza di sistemazione rigorosa di tutta la matematica, cominciata già verso la seconda metà del secolo scorso.
Con la nascita del calcolo infinitesimale e differenziale ad opera di Newton e Leibnitz, che facevano ricorso all’evidenza geometrica nell’introdurre i concetti di limite e di continuità, e con la successiva algebrizazione della geometria iniziatasi con Cartesio, la geometria venne detronizzata e quindi messa in secondo piano rispetto all’Algebra ed all’Analisi Matematica. Però mentre della geometria e dei suoi metodi si conosceva una costruzione rigorosa e assiomatica, non succedeva altrettanto per l’algebra e l’aritmetica; i numeri (naturali, interi, razionali, reali) furono introdotti senza troppi scrupoli rigoristici, solo in funzione strumentale del loro uso. Infatti i numeri irrazionali erano già stati introdotti nell’antichità greca come rapporto fra grandezze incommensurabili (ad esempio lato e diagonale di un quadrato) per via, quindi, puramente geometrica; per via algebrica, invece, furono introdotti dalla necessità di risolvere equazioni del tipo x2 – 2 = 0, né si aggiunse altro. Oggi sappiamo che tutti gli insiemi numerici si possono ricondurre agli insiemi dei numeri naturali con successive estensioni. Diceva Kroneker: "I numeri naturali li ha fatti il buon Dio, tutto il resto é opera dell’uomo", dove l’espressione "il buon Dio" sta a significare semplicemente che l’uomo ha rinunciato a dare una spiegazione dei numeri naturali, essendo questi legati alla semplice e "naturale" operazione del contare. Prima di introdurre i numeri reali secondo Cantor (a partire dai razionali), vedremo brevemente [2] come si possono introdurre i numeri interi ed i numeri razionali a partite dai numeri naturali; seguirà ancora un paragrafo sulle proprietà dell’insieme dei razionali strutturato con le operazioni ‘+’ , ‘.’ e con la relazione d’ordine .
Scarica la dispensa su Numeri reali e potenza del continuo