Risolvere la seguente disequazione esponenziale:
$ frac(1)(e^(frac(x^2 – 2)(x))) ≤ e $
Svolgimento
Poniamo le condizioni di esistenza:
$C.E.$
$x ≠ 0$
Sappiamo che $e$ , essendo la costante di Nepero, è diverso da zero.
Cambiando segno all’esponente di $e$ , possiamo invertire la frazione:
$ e^(- frac(x^2 – 2)(x)) ≤ e $
Risolviamo secondo la regola $ a^x < b^y to x < y $ :
$ – frac(x^2 – 2)(x) ≤ 1 $
$ – frac(x^2 – 2)(x) – 1 ≤ 0 $
$ frac(- x^2 + 2 – x)(x) ≤ 0 $
Risolviamo:
$ N ≥ 0 to – x^2 + 2 – x ≥ 0 $
Passiamo all’equazione associata :
$x^2 + 2 – x = 0 $
Risolviamo con la formula $x = frac(-b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $ :
$x = frac(-1 ± sqrt(1^2 – 4*(-2)))(2) = frac(-1 ± sqrt(1+8))(2) = $
$ frac(-1 ± sqrt(9))(2) = frac(-1 ± 3)(2) $
$ x_1 = frac(-1 + 3)(2) = 1 , x_2 = frac(-1 – 3)(2) = -2 $
Poiché la disequazione è minore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli interni alle radici:
$ S : -2 ≤ x ≤ 1 $
$ D > 0 to x > 0 $
Passiamo ora allo studio del segno fra numeratore e denominatore:
Le soluzioni sono date dagli intervalli negativi:
$ S : -2 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 1 $