Risolvere il seguente sistema di disequazioni esponenziali:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{(\sqrt{49^x} – 7)(3^x – 1)}{64 – 2^x} ≥ 0 &\\
\frac{625^x · \sqrt{25^x}}{\sqrt{125}} = (\frac{1}{5})^y &
\end{array}\right.
$$
Svolgimento
Cominciamo dalla prima disequazione:
$ frac(sqrt(49^x – 7)(3^x – 1))(64 – 2^x) ≥ 0 $
$ N ≥ 0 $
$ sqrt(49^x – 7)(3^x – 1) ≥ 0 $
Poniamo ciascun termine maggiore o uguale a zero:
$ sqrt(49^x – 7) ≥ 0 $
Trasformiamo tutto in potenza:
$ sqrt( 7^(2x) ) ≥ 7 $
$ (7^(2x) )^(1/2) ≥ 7 $
$ 7^(2x * 1/2) ≥ 7 $
$ 7^x ≥ 7 $
Poiché le potenze hanno la stessa base, possiamo scrivere:
$ x ≥ 1 $
Passiamo al secondo termine:
$ 3^x – 1 ≥ 0 to 3^x ≥ 1 $
Dato che qualunque numero elevato a zero è uguale a 1, abbiamo che:
$ 3^x ≥ 3^0 to x ≥ 0 $
Studiamo il segno del numeratore:
Prendiamo gli intervalli positivi:
$ x ≤ 0 ∨ x ≥ 1 $
Passiamo al denominatore:
$ D > 0 $
$ 64 – 2^x > 0 $
Trasformiamo in potenza:
$ 2^6 – 2^x > 0 $
Cambiamo segno e invertiamo il verso:
$ – 2^6 + 2^x < 0 $
$ 2^x < 2^6 to x < 6 $
Studiamo il segno fra numeratore e denominatore:
Prendiamo gli intervalli positivi:
$ x ≤ 0 ∨ 1 ≤ x < 6 $
Passiamo ora alla seconda disequazione:
$ sqrt(1 + 4^x) > frac(1)(sqrt(4^x – 1)) $
Poniamo $4^x – 1 > 0 to 4^x > 1 to x > 0 $ .
Eleviamo tutto al quadrato:
$ (sqrt(1 + 4^x))^2 > (frac(1)(sqrt(4^x – 1)))^2 $
$ 1 + 4^x > frac(1)(4^x – 1) $
$ 1 + 4^x – frac(1)(4^x – 1) > 0 $
Calcoliamo il minimo comune multiplo:
$ frac((1 + 4^x)(4^x – 1) – 1 )(4^x – 1) > 0 $
$ frac( 4^x + 4^(2x) – 1 – 4^x – 1 )(4^x – 1) > 0 $
$ frac( 4^(2x) – 2 )(4^x – 1) > 0 $
Trasformiamo in potenze del 2:
$ frac( 2^(4x) – 2 )(2^(2x) – 1) > 0 $
$ N > 0 $
$ 2^(4x) – 2 > 0 to 2^(4x) > 1 $
$ 4x > 1 to x > 1/4 $
$ D > 0 $
$ 2^(2x) – 2 > 0 to 2^(2x) > 1 $
$ 2x > 0 to x > 0 $
Studiamo il segno:
Prendiamo gli intervalli positivi:
$ x < 0 ∨ x > 1/4 $
Torniamo al sistema:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x ≤ 0 ∨ 1≤ x < 6 &\\
x < 0 ∨ x > \frac{1}{4} &
\end{array}\right.
$$
Determiniamo le soluzioni:
$ x < 0 ∨ 1 <= x < 6 $
Tuttavia, considerando le condizioni di esistenza poste in precedenza, dobbiamo escludere i risultati minori o uguali a zero; le soluzioni saranno quindi:
$ 1 <= x < 6 $