Risolvere il seguente sistema di equazioni esponenziali:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
36 · 6^{x-y} = 6^{2x} &\\
49^x · \sqrt{7^y} = 1 &
\end{array}\right.
$$
Svolgimento
Prendiamo in considerazione la prima equazione:
$ 36 * 6^(x – y) = 6^(2x)$
Trasformiamo tutto in potenze e moltiplichiamo:
$ 6^2 * 6^(x – y) = 6^(2x)$
$ 6^(x – y + 2) = 6^(2x)$
Poiché le potenze hanno la stessa base, possiamo uguagliare gli esponenti:
$ x – y + 2 = 2x to x – y + 2 – 2x = 0 $
$ -x – y + 2 = 0 to x + y -2 = 0$
Passiamo ora alla seconda equazione:
$ 49^x * sqrt(7^y) = 1 $
Allo stesso modo, trasformiamo tutto in potenza:
$ 7^(2x) * (7^y)^(1/2) = 1 to 7^(2x) * 7^(y/2) = 1 $
$ 7^(2x + y/2) = 1 $
Possiamo scrivere $1$ come $ 7^0$ :
$ 7^(2x + y/2) = 7^0 $
Poiché le potenze hanno la stessa base, possiamo uguagliare gli esponenti:
$ 2x + 1/2 y = 0 $
$ 4x + y = 0 $
Ritorniamo al sistema:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x + y – 2 = 0 &\\
4x + y = 0 &
\end{array}\right.
$$
Risolviamo per sottrazione:
$ [x + y – 2 = 0] + [ – 4x – y = 0] to – 3x – 2 = 0 $
$ 3x + 2 = 0 to x = – 2/3 $
Troviamo il corrispondente valore di $y$ :
$ 4 (- 2/3) + y = 0 to – 8/3 + y = 0 to y = 8/3$