Per risolvere lesercizio, possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali delle funzioni coseno e logaritmo; cominciamo dalla funzione coseno, che ha il seguente sviluppo:
[math] \\cos(z) = 1 - frac(z^2)(2) + frac(z^4)(24) - + frac((-1)^n z^{2n})({2n}!) + o(z^{2n}) [/math]
In questo caso, poich largomento del coseno
[math]2x[/math]
, dobbiamo operare la sostituzione
[math] z = 2x[/math]
, tenendo presente che per
[math]x o 0[/math]
si ha che
[math]2x = x[/math]
, e quindi
[math]o(z) = o(x)[/math]
; sapendo che il termine coseno moltiplicato per un fattore x di primo grado, possiamo fermare lo sviluppo del coseno al grado 4:
[math] \\cos(2x) = 1 - frac((2x)^2)(2) + frac((2x)^4)(24) + o((2x)^{4}) [/math]
Moltiplicando per il fattore
[math]3x[/math]
si ottiene:
[math] 3x \cdot \\cos(2x) = 3x [1 - frac((2x)^2)(2) + frac((2x)^4)(24) + o((2x)^{4})] = [/math]
[math] 3x [1 - frac(4x^2)(2) + frac( 16 x^4)(24) + o(x^4)] = 3x [1 - 2x^2 + 2/3 x^4 + o(x^4)] = [/math]
[math] 3x - 6x^3 + 2 x^5 + o(x^5) [/math]
Applichiamo lo stesso ragionamento per la seconda parte della funzione, ricordando che lo sviluppo fondamentale della funzione logaritmica il seguente:
[math] \\log(1+z) = z - frac(z^2)(2) + frac(z^3)(3) + + (-1)^{n+1} frac(z^n)(n) + o(z^n) [/math]
In questo caso occorre applicare la sostituzione
[math] z = x^3[/math]
, quindi, per raggiungere un quinto grado complessivo, sar su?ciente fermare lo sviluppo della funzione logaritmo al secondo grado:
[math] \\log(1+z) = z - frac(z^2)(2) + o(z^2) [/math]
Applichiamo la sostituzione:
[math] \\log(1+x^3) = x^3 - frac((x^3)^2)(2) + o((x^3)^2) = x^3 - frac(x^6)(2) + o(x^6) [/math]
Ricordiamo che nella funzione il logaritmo era moltiplicato per un fattore:
[math] 6 \\log(1+x^3) = 6 x^3 - 3 x^6 + o(x^6) [/math]
Possiamo procedere ora con lo sviluppo ?nale della funzione di partenza:
[math] f(x) = 3x \\cos(2x) + 6 \\log(1+x^3) = 3x - 6x^3 + 2 x^5 + o(x^5) + 6 x^3 - 3 x^6 + o(x^6) [/math]
Come sappiamo, gli in?nitesimi di ordine maggiore vengono inglobati da quelli di ordine minore, quindi in questo caso le potenze di 6 verranno inglobate allinterno di
[math]o(x^5)[/math]
:
[math] f(x) = 3x - 6x^3 + 2 x^5 + o(x^5) + 6 x^3 = 3x + 2 x^5 + o(x^5) [/math]
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