Determinare per quale valore reale di a il campo vettoriale \( \vec{F}(x; y) = (6x^2 + a y^2) \vec{i} + 10 xy\vec{j} \)
è conservativo nel proprio dominio; per tale valore di a, si consideri il punto \( B = (1; -1) \) e si deter- mini il punto P dell’asse x tale che risulti
\[ \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{s} = 9 \]
essendo \( \gamma \) il segmento BP percorso da B verso P .
Il dominio del campo è \( \mathbb{R^2} \); per la conservatività in \( \mathbb{R^2} \) (che è un insieme aperto semplicemente connesso) è necessaria e sufficiente l’uguaglianza delle derivate in croce, cioè che risulti
\[ \frac{\partial}{\partial y} (6x^2 + ay^2) = \frac{\partial}{\partial x} (10xy), \forall (x; y) \in \mathbb{R^2} \]
Deve quindi risultare, in tutto \( \mathbb{R^2}\), \( 2ay = 10y \), da cui \( 2a=10 \) da cui \( a = 5 \).
Il campo vettoriale da considerare è dunque
\[ \vec{F}(x; y) = (6x^2 + 5y^2) \vec{j} + 10xy\vec{j} \]
Il punto P da determinare ha coordinate \( (p; 0) \) con \( p \in \mathbb{R} \). Per calcolare l’integrale del campo lungo \( \gamma \), conviene utilizzare un potenziale del campo stesso in \mathbb{R^2}, ad esempio \( U(x;y) = 2^3 + 5xy^2 \) e risulta:
\[ \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{s} = U(p; 0) – U(1; -1) = 2p^3 – (2 + 5) = 2p^3 – 7 \]
Deve risultare \( 2p^3 – 7 = 9\) , da cui \( p^3 = 8\) da cui \( p = 2\); si trova così \( P = (2; 0)\).