Semplificare la seguente espressione logaritmica:
$$ log_ \left(\frac{1}{2} \right) \sqrt[5]{ \frac{\frac{1}{4} · \sqrt[3]{ 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{2}} }$$
Svolgimento
Cerchiamo di semplificare la scrittura togliendo le radici;
sappiamo che la radice di un numero può essere scritta in questo modo:
$ sqrt(a) = a^(1/2 )$
quindi:
$$ log_\left(\frac{1}{2} \right) \left( \frac{\frac{1}{4} · \sqrt[3]{ 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{2}} \right)^{\frac{1}{5}} $$
Inoltre, sfruttando la seguente proprietà dei logaritmi $ log_a(b^k) = k log_a(b)$, possiamo scrivere:
$$ \frac{1}{5} log_\left(\frac{1}{2} \right) \left( \frac{\frac{1}{4} · \sqrt[3]{ 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{2}} \right) $$
Seguiamo lo stesso procedimento per le altre radici:
$$ \frac{1}{5} log_\left(\frac{1}{2} \right) \left( \frac{\frac{1}{4} · ( 2 \sqrt{8})^{\frac{1}{3}} }{2 · 2^{\frac{1}{2}}} \right) $$
$$ \frac{1}{5} log_\left(\frac{1}{2} \right) \left( \frac{\frac{1}{2^2} · ( 2 · 8^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} }{2 · 2^{\frac{1}{2}}} \right) $$
$$ \frac{1}{5} log_\left(\frac{1}{2} \right) \left( \frac{ 2^{-2} · ( 2 · 2^{ 3 · \frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} }{ 2^{ 1 + \frac{1}{2}}} \right) $$
$$ \frac{1}{5} log_\left(\frac{1}{2} \right) \left( \frac{ 2^{-2} · ( 2 · 2^{ \frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} }{ 2^{ \frac{3}{2}}} \right) $$
$$ \frac{1}{5} log_\left(\frac{1}{2} \right) \left( \frac{ 2^{-2} · ( 2^{ 1 + \frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} }{ 2^{ \frac{3}{2}}} \right) $$
$$ \frac{1}{5} log_\left(\frac{1}{2} \right) \left( \frac{ 2^{-2} · ( 2^{ \frac{5}{2}})^{\frac{1}{3}} }{ 2^{ \frac{3}{2}}} \right) $$
$$ \frac{1}{5} log_\left(\frac{1}{2} \right) \left( \frac{ 2^{-2} · 2^{ \frac{5}{2} · \frac{1}{3}} }{ 2^{\frac{3}{2}} } \right) $$
$$ \frac{1}{5} log_\left(\frac{1}{2} \right) \left( \frac{ 2^{-2} · 2^{ \frac{5}{6}} }{ 2^{\frac{3}{2}} } \right) $$
$$ \frac{1}{5} log_\left(\frac{1}{2} \right) \left( \frac{ 2^{-2 + \frac{5}{6} }}{ 2^{\frac{3}{2}} } \right) $$
$$ \frac{1}{5} log_\left(\frac{1}{2} \right) \left( \frac{ 2^{- \frac{7}{6}} }{ 2^{\frac{3}{2}} } \right) $$
$$ \frac{1}{5} log_\left(\frac{1}{2} \right) \left( 2^{- \frac{7}{6} – \frac{3}{2}} \right) $$
$$ \frac{1}{5} log_{(2^{-1})} ( 2^{- \frac{16}{6}} ) $$
$$ \frac{1}{5} log_{(2^{-1})} ( 2^{- \frac{8}{3}} ) $$
Sapendo che il logaritmo, per definizione, è l’esponente da dare alla base per ottenere l’argomento, abbiamo che:
$$ \frac{1}{5} log_{(2^{-1})} ( 2^{- \frac{8}{3}} ) = \frac{1}{5} · \frac{8}{3} = \frac{8}{15} $$