Scrivere l’equazione della parabola $γ$ avente asse di simmetria parallelo all’asse $y$ e passante per i punti $A(-1 ; 0)$, $B(4 ; 5)$ e $D(3 ; 0)$ .
Quindi rispondere ai seguenti quesiti:
- determinare le equazioni delle rette $t_1$ e $t_2$ tangenti a $γ$ in $A$ e $B$ e indicare con $C$ il punto d’intersezione tra $t_1$ e $t_2$;
- verificare che la retta $MC$ , congiungente $C$ con il punto medio $M$ del lato $AB$ del triangolo $ABC$ , è parallela all’asse di $γ$ .
Svolgimento (0)
Sappiamo che, poiché la parabola ha asse di simmetria parallelo all’asse $y$ , la sua equazione sarà del tipo $y = ax^2 + bx + c$ . Imponiamo il passaggio della parabola per i tre punti assegnati:
$ A ∈ γ to 0 = a – b + c$
$ B ∈ γ to 5 = 16a + 4b + c$
$ D ∈ γ to 0 = 9a + 3b + c$
Mettiamo a sistema le tre equazioni per determinare l’equazione della parabola:
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
a – b + c = 0 & \\
16 a + 4b + c = 5 & \\
9a + 3b + c = 0 &
\end{array}
\right.
$$
Possiamo cominciare effettuando una sottrazione fra la seconda e la terza equazione:
$ [ 16a + 4b + c = 5 ] + [ – 9a – 3b – c = 0 ] to 7a + b = 5 $
Da questa equazione ricaviamo $b$ :
$ b = 5 – 7a $
Sostituiamo questo valore di b alla prima e alla terza equazione:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
a – (5 – 7a) + c = 0 &\\
9a + 3 (5 – 7a) + c = 0 &
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
8a + c -5 = 0 &\\
-12 a + c + 15 = 0 &
\end{array}\right.
$$
Risolviamo per sottrazione:
$ [ 8a + c – 5 = 0 ] + [ 12a – c – 15 = 0 ] to 20a – 20 = 0 $
Da cui : $ a = 1 $
Possiamo ora determinare il valore di $b$ :
$b = 5 – 7a = 5 – 7 = – 2 $
Troviamo il valore di $c$ :
$ c = 5 – 8a = 5 – 8 = – 3 $
Determiniamo l’equazione della parabola:
$ γ : y = x^2 – 2x – 3 $
$ V (- frac(b)(2a) ; – frac(∆)(4a) ) to V (1 ; – 4) $
Possiamo ora rappresentare la parabola nel piano cartesiano:
Ora, rispondiamo ai quesiti:
Svolgimento (1)
Sappiamo che $t_1$ è la tangente in $A$ , mentre $t_2$ la tangente nel punto $B$.
Avendo le coordinate dei punti in questione, possiamo utilizzare la formula di sdoppiamento, con la quale troviamo la tangente alla parabola in un punto dato:
$t : frac(y + y_0)(2) = ax x_0 + b frac(x + x_0)(2) + c $
$t_1 : frac(y + y_A)(2) = ax x_A + b frac(x + x_A)(2) + c $
$t_1 : frac(y + 0)(2) = x (-1) – 2 frac(x – 1)(2) – 3 $
$t_1 : frac(y)(2) = – x – x + 1 – 3 $
$t_1 : frac(y)(2) = – 2x – 2 $
$t_1 : y = – 4x – 4 $
Applichiamo la stessa formula per trovare l’altra tangente:
$t_2 : frac(y + y_B)(2) = ax x_B + b frac(x + x_B)(2) + c $
$t_2 : frac(y + 5)(2) = x * 4 – 2 frac(x + 4)(2) – 3 $
$t_2 : frac(y + 5)(2) = 4x – x – 4 – 3 $
$t_2 : frac(y + 5)(2) = 3x – 7 $
$t_2 : y + 5 = 6x – 14 $
$t_2 : y = 6x – 19$
Determiniamo le coordinate del punto $C$ , punto di intersezione fra le due tangenti, impostando un sistema fra esse:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
y = – 4x – 4 &\\
y = 6x – 19 &
\end{array}\right.
$$
Risolviamo con il metodo del confronto:
$ -4x – 4 = 6x – 19 $
$ -4x -6x = 4 – 19 $
$ -10x = – 15 to x = frac(15)(10) = 3/2 $
$ y = -4x – 4 = -4 * 3/2 – 4 = -6-4 = -10 $
Abbiamo quindi il punto $C$ di coordinate $ (3/2 ; – 10) $ .
Svolgimento (2)
Troviamo il punto medio di $AB$:
$ x_M = frac(x_A + x_B)(2) = frac(-1 + 4 )(2) = 3/2 $
$ y_M = frac(y_A + y_B)(2) = frac( 0 + 5 )(2) = 5/2 $
$ M (3/2 ; 5/2)$
Verifichiamo che la retta $MC$ è parallela all’asse della parabola; l’asse della parabola è parallelo all’asse $y$ .
Notiamo che il punto $M$ e il punto $C$ hanno la stessa ascissa, quindi sappiamo che la retta $MC$ ha equazione $x = 3/2$ , ed è dunque parallela all’asse $y$.
Di conseguenza, essendo entrambe le rette parallele all’asse $y$, saranno sicuramente parallele fra loro.