Tre dadi non truccati vengono lanciati simultaneamente n volte. Sia $S_n$ il numero delle volte che si ottiene un punteggio complessivo uguale a 4 (cioè la somma dei dadi dà 4). Se n = 1296, trovare approssimativamente il valore di $S_n$

Consideriamo le possibilità che ci sono di ottenere un punteggio pari a 4 nel lancio di tre dadi; se indichiamo con la terna (i, j, k) le uscite rispettivamente del primo, del secondo e del terzo dado, abbiamo le seguenti possibilità: (1, 1, 2) , (1, 2, 1) , (2, 1, 1). Poiché consideriamo dadi non truccati, sappiamo che ogni faccia può presentare un numero da 1 a 6, e di conseguenza possiamo rappresentare lo spazio campione nel seguente modo:

$ omega = {(i, j, k); i,j,k € {1,2,3,4,5,6}} $

Di conseguenza, la cardinalità di omega è data da: $ #omega = 6^3$.

Conoscendo la cardinalità dell’insieme, la probabilità di ottenere esattamente una configurazione di uscita dei valori è:

$ P((i, j, k)) = frac(1)(6^3) $

Sapendo che il punteggio 4 può essere ottenuto con tre configurazioni diverse dei valori usciti, la probabilità che si verifichi tale evento è data da:

$ P((1, 1, 2) , (1, 2, 1) , (2, 1, 1)) = 3 * frac(1)(6^3) = frac(3)(6^3)$

Per risolvere il nostro problema, possiamo introdurre una variabile aleatoria $X_m$ che per costruzione assume il valore 1 se nel lancio i-esimo esce una somma di 4, e assume 0 altrimenti. Tale variabile aleatoria si comporta come una Bernulliana di parametro $ p = E(X_m) $.

La variabile $S_n = X_1 + …. + X_n$ , essendo la somma di variabili aleatorie Bernulliane, si comporta come una binomiale di parametri n e p.

Per stimare il suo valore, possiamo ricorrere alla legge forte dei grandi numeri, per cui si ha che:

$ frac(S_n)(n) = frac(X_1 + …. + X_n)(n) to p (n to ∞) $

Quindi, per n molto grande, $S_n$ tenderà al valore $np$.

Dai dati del problema, sappiamo che $n = 1296$, e dalle considerazioni precedenti sappiamo che $ p = frac(3)(6^3) $; possiamo quindi stimare il valore di $S_n$:

$ S_n = 1296 * frac(3)(6^3) = frac(6^4 * 3)(6^3) = 18 $

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