[math] \omega = {(i, j, k); i, j, k \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}}[/math]
Di conseguenza, la cardinalità di
[math] \omega [/math]
è data da: [math] \# \omega = 6^3[/math]
.Conoscendo la cardinalità dell'insieme, la probabilità di ottenere esattamente una configurazione di uscita dei valori è:
[math]P((i, j, k)) = \frac{1}{6^3}[/math]
Sapendo che il punteggio 4 può essere ottenuto con tre configurazioni diverse dei valori usciti, la probabilità che si verifichi tale evento è data da:
[math]P((1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)) = 3 \cdot \frac{1}{6^3} = \frac{3}{6^3}[/math]
Per risolvere il nostro problema, possiamo introdurre una variabile aleatoria
[math]X_m[/math]
che per costruzione assume il valore 1 se nel lancio i-esimo esce una somma di 4, e assume 0 altrimenti. Tale variabile aleatoria si comporta come una Bernoulliana di parametro [math]p = E(X_m)[/math]
.La variabile
[math]S_n = X_1 + \ldots + X_n[/math]
, essendo la somma di variabili aleatorie Bernoulliane, si comporta come una binomiale di parametri n e p.Per stimare il suo valore, possiamo ricorrere alla legge forte dei grandi numeri, per cui si ha che:
[math]\frac{S_n}{n} = \frac{X_1 + \ldots + X_n}{n} \to p \quad (n \to \infty)[/math]
Quindi, per n molto grande,
[math]S_n[/math]
tenderà al valore [math]np[/math]
.Dai dati del problema, sappiamo che
[math]n = 1296[/math]
, e dalle considerazioni precedenti sappiamo che [math]p = \frac{3}{6^3}[/math]
; possiamo quindi stimare il valore di [math]S_n[/math]
:
[math]S_n = 1296 \cdot \frac{3}{6^3} = \frac{6^4 \cdot 3}{6^3} = 18[/math]
