Scheda che introduce il concetto di complementare di un insieme, corredata di diversi esempi.
Insieme complementare di un insieme
Definizione
Sia fissato un insieme ambiente \( U \). Allora, preso un qualunque insieme \( A \subset U \) si definisce complementare di \( A \) rispetto a \( U \) quell’insieme \( B \subset U \) che ha per elementi tutti e soli gli elementi di \( U \) che non sono elementi di \( A \). L’insieme è indicato con il simbolo \( A^c \).
Rappresentazioni
- Per proprietà caratteristica \( A^c = \{ x \in U \vee x \in U \wedge x \not \in A \} \)
- Con i diagrammi di Eulero-Venn (il complementare di \( A \) è evidenziato in grigio)
Esempio 1
Detto \( U \) un qualsiasi insieme ambiente:
L’insieme complementare di \( \varnothing \) è \( U \), cioè \(\varnothing^c = U \).
L’insieme complementare dell’insieme universo \( U \) è l’insieme vuoto \( \varnothing \), cioè \( U^c = \varnothing \).
L’insieme complementare di \( U \) è \( \varnothing \)L’insieme complementare dell’insieme complementare è l’insieme iniziale, cioè \( (A^c)^c = A \).
Esempio 2
Se l’insieme delle lettere dell’alfabeto è l’insieme ambiente:
- L’insieme complementare dell’insieme delle vocali è l’insieme delle consonanti
- L’insieme complementare dell’insieme delle consonanti è l’insieme delle vocali
Esempio 3
Se l’insieme dei mesi dell’anno è l’insieme ambiente:
- L’insieme complementare dell’insieme dei mesi che iniziano per g è: { febbraio, marzo, aprile, maggio, luglio, agosto, settembre, ottobre, novembre, dicembre }
- L’insieme complementare dei mesi invernali è: {marzo, aprile, maggio, giugno, luglio, agosto, settembre, ottobre, novembre}
Esempio 4
Se l’insieme dei giorni della settimana è l’insieme ambiente:
- L’insieme complementare dell’insieme dei giorni feriali è: {domenica}
- L’insieme complementare dell’insieme dei giorni che non iniziano per z è: { \( \varnothing \) }
Esempio 5
Se l’insieme ambiente è l’insieme dei numeri naturali \( \mathbb{N} \)
- L’insieme complementare dell’insieme dei numeri pari è l’insieme dei numeri dispari
Osservazione
Se l’insieme ambiente \( U \) ha \( n \) elementi e un suo sottoinsieme \( A \) ha \( m \) elementi, con \( m <= n \), ovvero \( | U | = n \) e \( | A | = m \), allora il complementare di \( A \) rispetto a \( U \) avrà \( n – m \) elementi, ovvero la sua cardinalità è \( | A^c | = n – m \).
Materiale di supporto
Test sulla teoria degli insiemi.