Insieme complementare di un insieme

Scheda che introduce il concetto di complementare di un insieme, corredata di diversi esempi.

Insieme complementare di un insieme

Definizione

Sia fissato un insieme ambiente \( U \). Allora, preso un qualunque insieme \( A \subset U \) si definisce complementare di \( A \) rispetto a \( U \) quell’insieme \( B \subset U \) che ha per elementi tutti e soli gli elementi di \( U \) che non sono elementi di \( A \). L’insieme è indicato con il simbolo \( A^c \).

Rappresentazioni

Insieme complementare di un insieme

Esempio 1

Detto \( U \) un qualsiasi insieme ambiente:

L’insieme complementare di \( \varnothing \) è \( U \), cioè \(\varnothing^c = U \).

L’insieme complementare dell’insieme universo \( U \) è l’insieme vuoto \( \varnothing \), cioè \( U^c = \varnothing \).

L’insieme complementare di \( U \) è \( \varnothing \)L’insieme complementare dell’insieme complementare è l’insieme iniziale, cioè \( (A^c)^c = A \).

Esempio 2

Se l’insieme delle lettere dell’alfabeto è l’insieme ambiente:

  • L’insieme complementare dell’insieme delle vocali è l’insieme delle consonanti
  • L’insieme complementare dell’insieme delle consonanti è l’insieme delle vocali

Esempio 3

Se l’insieme dei mesi dell’anno è l’insieme ambiente:

  • L’insieme complementare dell’insieme dei mesi che iniziano per g è: { febbraio, marzo, aprile, maggio, luglio, agosto, settembre, ottobre, novembre, dicembre }
  • L’insieme complementare dei mesi invernali è: {marzo, aprile, maggio, giugno, luglio, agosto, settembre, ottobre, novembre}

Esempio 4

Se l’insieme dei giorni della settimana è l’insieme ambiente:

  • L’insieme complementare dell’insieme dei giorni feriali è: {domenica}
  • L’insieme complementare dell’insieme dei giorni che non iniziano per z è:  { \( \varnothing \) }

Esempio 5

Se l’insieme ambiente è l’insieme dei numeri naturali \( \mathbb{N} \)

  • L’insieme complementare dell’insieme dei numeri pari è l’insieme dei numeri dispari

Osservazione

Se l’insieme ambiente \( U \) ha \( n \) elementi e un suo sottoinsieme \( A \) ha \( m \) elementi, con \( m <= n \), ovvero \( | U | = n \) e \( | A | = m \), allora il complementare di \( A \) rispetto a \( U \) avrà \( n – m \) elementi, ovvero la sua cardinalità è \( | A^c | = n – m \).

Materiale di supporto

Test sulla teoria degli insiemi.

 

Commenti

commenti