Esempi elementari di probabilità classica

Esempio 1: Si calcoli la probabilità classica che, lanciando due dadi, si ottenga:

  • un numero minore o uguale a 3;
  • un numero strettamente minore di 12;
  • esattamente 7.

In base alla definizione di probabilità classica, per trovare i risultati di questo problema dovremo calcolare per prima cosa il numero $n$ di tutti i casi possibili. Ci aiuta il calcolo combinatorio: dal momento che ciascun dado può cadere su ciascuna delle sue 6 facce e ci sono 2 dadi i cui movimenti sono indipendenti l’uno dall’altro, Il totale dei casi possibili sarà $n = 6 x 6 = 36$.

Adesso, enumeriamo quanti di questi casi ci consentono di ottenere un numero minore o uguale a 3, ovverosia, troviamo il numero $n_f$ dei casi favorevoli relativo alla prima richiesta. Le combinazioni utili sono solo 3, cioè \(\color{red}{\boxed{1}}\) \(\color{red}{\boxed{1}}\), \(\color{red}{\boxed{1}}\)\(\color{red}{\boxed{2}}\) e \(\color{red}{\boxed{2}}\)\(\color{red}{\boxed{1}}\); ne consegue che la probabilità relativa al primo evento sarà \(P(E_1)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\).

Passiamo adesso a calcolare il numero $n_f$ dei casi favorevoli relativi al secondo evento. Osserviamo che essendo 12 il numero massimo che si può ottenere lanciando due dadi, dire che si vuole un numero strettamente minore di 12 equivale a dire che i risultati favorevoli saranno tutti, tranne quelli che danno 12. Essendoci solo un tale risultato, cioè \( \color{red}{\boxed{6}} \)\( \color{red}{\boxed{6}} \), possiamo dire che $n_f = 36−1=35$ e dunque che \(P(E_2) = \frac{35}{36}\).

Concludiamo questo esercizio calcolando la probabilità di ottenere esattamente 7. Adesso i casi favorevoli sono molti di più, poiché per ogni valore ottenuto sul primo dado ne esiste uno da ottenere sull’altro tale che la loro somma sia 7. Essi sono \( \color{red}{\boxed{1}} \)\( \color{red}{\boxed{6}} \), \( \color{red}{\boxed{2}} \)\( \color{red}{\boxed{5}} \) , … fino a \( \color{red}{\boxed{6}} \)\( \color{red}{\boxed{1}} \), per un totale di 6. Ne deduciamo che \(P(E_3) = \frac{n_f}{n}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\) .

Osservazione 1: L’ultima richiesta dell’esercizio precedente poteva essere risolta in modo più semplice effettuando il seguente ragionamento. Immaginiamo di tirare i due dadi in successione; se il risultato ottenuto dal primo lancio è il numero \( 1 \le r \le 6 \), esiste uno e un sol numero, esattamente $7 – r$, che possiamo ottenere dal secondo lancio affinché il caso sia favorevole. Tale numero ha una probabilità di 1/6 di presentarsi, essendo le facce totali del dado 6 e lui 1 soltanto. Dunque il risultato è \(P(E_3) = 1/6\).

Tale ragionamento è lecito perché sono verificate le seguenti condizioni:

  • tutti i valori del primo lancio vanno bene ai nostri scopi;
  • per ogni valore ottenuto prima, solo uno dei valori ottenuti dopo va bene;
  • ogni numero ha la stessa probabilità di uscire su ogni dado durante ogni lancio.

Esempio 2: Un’urna contiene delle palline colorate, esattamente 5 palline rosse, 3 blu e 4 verdi. Calcolare le seguenti probabilità classiche:

  • che si estragga una pallina blu;
  • che si estragga una pallina rossa o verde;
  • che, estraendo due palline contemporaneamente, esse siano una rossa e una blu.

Come al solito, calcoliamo il numero $n$ dei casi possibili. Essendoci nell’urna in totale 12 palline, il numero di casi possibili è $n = 12$ sia per la prima richiesta che per la seconda. La probabilità di estrarre una pallina blu è allora \( P(E_1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \) , dal momento che le palline blu sono $n_f = 3$. Allo stesso modo, calcoliamo che la probabilità di estrarre una pallina che sia rossa oppure verde è \( P(E_2) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\) , poiché in questo caso il numero $n_f = 9$ risulta dalla somma del numero di palline verdi e rosse.

Il terzo caso invece è più complesso, poiché le due palline vanno estratte nello stesso momento. Dobbiamo quindi domandarci: essendo 12 il numero totale delle palline, in quanti modi essenzialmente diversi possiamo estrarne una coppia? Di tali coppie poi, quante saranno costituite esattamente di una pallina rossa e una blu?

Alla prima domanda si risponde calcolando la disposizione \(D_{12,2}\) : si tratta infatti di sapere quanti modi esistano di scegliere due oggetti fra dodici senza che interessi il loro ordine; il numero è perciò  \(n = C_{12,2} = \begin{pmatrix}12 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{12!}{2!10!}=\frac{11\cdot 12}{2}=66\). Per rispondere alla seconda domanda, osserviamo che il numero di coppie che possono formarsi prendendo la prima pallina rossa e la seconda blu è esattamente \(5 \times 3 = 15 \); non c’è bisogno di contare anche le coppie in cui la prima pallina è blu e la seconda è rossa, visto che nojn conta l’ordine. Perciò \(n_f = 15\), e infine \(P(E_3) = \frac{15}{66} = \frac{5}{22}\) .

Osservazione 2: Se sommiamo le probabilità relative ai primi due risultati dell’esempio 2 otteniamo \(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\); ciò è in linea con il fatto che, in effetti, il fatto che una delle palline estratte sia blu, rossa o verde è sempre verificato.

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