Data la funzione $ f : ℜ to ℜ $ definita da $f(x) = 2x+5$ , analizzare il tipo di funzione e stabilire se essa è iniettiva, suriettiva e biiettiva; se opportuno, determinare la funzione inversa.
Calcolare poi:
– $f(g(x))$
– $g(f(x))$
– $g(f^(-1)(x))$
– $ f(f(x))$
– $ g(g(x))$
dove $g(x)$ è la funzione $ g(x) = x^2 $ .
Svolgimento (0)
La funzione $ f : R to R $ definita da $f(x) = 2x+5$ è una retta.
Di conseguenza possiamo affermare che essa sia iniettiva, poiché prendendo valori distinti della variabile indipendente si ottengono immagini distinte.
In particolare
$ ∀ x_1 , x_2 ∈ A : x_1 ≠ x_2 ⇔ f(x_1) ≠ f(x_2) $
E’ suriettiva, poiché il suo insieme di arrivo corrisponde al codominio, cioè ogni elemento dell’insieme di arrivo è un’immagine di almeno un elemento del dominio.
E’ quindi biiettiva, poiché è sia suriettiva che iniettiva.
La funzione inversa è una funzione simmetrica a quella di partenza rispetto la bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Poiché la nostra funzione è biettiva, è sicuramente invertibile. L’equazione di $f^(-1) (x)$ può essere trovata in questo modo:
$f(x) = 2x+5 to y = 2x + 5$
Ricaviamo x dall’equazione:
$ 2x = y – 5 to x = frac(y – 5)(2) $
Invertiamo $x$ con $y$ :
$ y = frac(x – 5)(2) $
Svolgimento (1)
Ora data la funzione $g(x) = x^2 $ determiniamo $f(g(x))$ .
Per farlo basta sostituire $g(x)$ alla variabile indipendente della nostra funzione di partenza.
$ y = 2x + 5 to y = 2 * g(x) + 5 $
$ y = 2 * x^2 + 5 to y = 2x^2 + 5 $
Svolgimento (2)
Consideriamo $g(f(x))$ : sostituiamo alla $x$ di $g(x)$ la funzione $f(x)$ :
$ y = x^2 to y = (2x + 5)^2$
$ y = 4x^2 + 20x + 25 $
Svolgimento (3)
Consideriamo $g(f^(-1)(x))$ : dobbiamo sostituire alla variabili indipendente di $g(x)$ la funzione $f^(-1)(x)$ che abbiamo trovato in precedenza.
$ y = x^2 to y = (frac(x – 5)(2))^2$
$ y = frac(x^2 – 10x + 25)(4) $
Svolgimento (4)
Consideriamo $ f(f(x))$ : si sostituisce alla variabile indipendente di $f(x)$ la finzione stessa $f(x)$ :
$ y = 2x + 5 to y = 2 * (2x + 5) + 5 $
$ y = 4x + 10 + 5 to y = 4x + 15 $
Svolgimento (5)
La stessa cosa si fa per $g(g(x))$ :
$ y = x^2 to y = (x^2)^2$
$ y = x^4$