E’ data la seguente relazione: $ x ℜ y ⇔ $ $x$ ha la stessa mamma di $y$
Dire se si tratta di una relazione di equivalenza; dire se la relazione è anche funzione e, in tal caso, s essa è iniettiva, suriettiva e biiettiva.
Svolgimento
Nel determinare le proprietà che soddisfa la relazione, possiamo affermare che è presente la proprietà riflessiva, poiché nell’insieme degli esseri umani un qualsiasi individuo ha la stessa mamma di se stesso.
Di conseguenza, escludiamo la proprietà antiriflessiva.
Sarà soddisfatta anche la proprietà simmetrica, poiché prendendo un elemento $x$ in relazione con un elemento $y$ , possiamo affermare che anche $y$ è in relazione con $x$ (se $x$ ha la stessa mamma di $y$ , $y$ ha la stessa mamma di $x$ ).
Di conseguenza, non è possibile la proprietà antisimmetrica.
La relazione gode della proprietà transitiva, perché se $x$ ha la stessa mamma di $y$, e $y$ ha la stessa mamma di $z$ , allora anche $x$ avrà la stessa mamma di $z$.
L’insieme preso in esame gode quindi della relazione di equivalenza, poiché sono soddisfatte le proprietà riflessiva, transitiva e simmetrica.
Una relazione tra due insiemi di dice funzione se ogni elemento di un insieme è in relazione con uno e un solo elemento dell’altro.
Per questo, la corrispondenza che ad un essere umano associa la propria madre è una funzione.
Tuttavia, non esiste la funzione inversa, poichè si avrebbe una relazione che associa ad ogni madre un figlio, ma può capitare che una madre ne abbia più di uno.
La funzione considerata è suriettiva, poichè ogni elemento dell’insieme di arrivo (la madre) è un’immagine di almeno un elemento dell’insieme di partenza (l’essere umano).
La funzione non è iniettiva, poiché è possibile che più esseri umani abbiano la stessa madre.
Di conseguenza, non è biiettiva, poiché è suriettiva ma non iniettiva.