Sono date la circonferenza γ di centro  $O$  e diametro  $AB = 2$ e la corda $AC = frac(6)(sqrt(13))$. Condotta per  $C$  la retta tangente a  γ  che incontri in  $D$  il prolungamento di  $AB$ , determinare:…

Sono date la circonferenza γ di centro  $O$  e diametro  $AB = 2$ e la corda $AC = frac(6)(sqrt(13))$. Condotta per  $C$  la retta tangente a  γ  che incontri in  $D$  il prolungamento di  $AB$ , determinare:

  1. Le misure dei lati e le funzioni goniometriche degli angoli dei triangoli $ACB$ , $OCD$  e  $BCD$  ;
  2. Le funzioni goniometriche degli angoli  $\hat{CAE}$ e  $\hat{CBE}$, essendo  $E$  il simmetrico di  $C$  rispetto ad  $AB$.

 

 

 

Svolgimento (1)

Cominciamo prendendo in considerazione il primo triangolo, $ACB$ : esso è rettangolo, poiché inscritto in una semicirconferenza.

Conoscendo la misura di due dei suoi lati, possiamo determinare il terzo con il teorema di Pitagora:

$CB = sqrt(AB^2 – AC^2) = sqrt(2^2 – (frac(6)(sqrt(13)))^2) = sqrt(4 – frac(36)(13)) =  $

$ sqrt(frac(16)(13)) = frac(4)(sqrt(13))$

ora, ricaviamo le funzioni goniometriche degli angoli mediante il primo teorema sui triangoli rettangoli:

$AC = AB * sin(\hat{ABC}) = AB * cos(\hat{CAB})  $

$ sin(\hat{ABC}) = cos(\hat{CAB}) = frac(AC)(AB) = frac(frac(6)(sqrt(13)))(2) = $

$ frac(6)(sqrt(13)) * 1/2 = frac(3)(sqrt(13)) $

$CB = AB * cos(\hat{ABC}) = AB * sin(\hat{CAB})  $

$ cos(\hat{ABC}) = sin(\hat{CAB}) = frac(CB)(AB) = frac(frac(4)(sqrt(13)))(2) = $

$ frac(4)(sqrt(13)) * 1/2 = frac(2)(sqrt(13)) $

Per quanto riguarda l’angolo  $ \hat{ACB} $, sappiamo che esso è rettangolo, di conseguenza conosciamo già le sue funzioni goniometriche:

$ sin(\hat{ACB}) = 1       ,      cos(\hat{ACB}) = 0 $

Passiamo ora al secondo triangolo,  $OCD$ .

Sappiamo già che  $OC = 1$ , poiché corrisponde al raggio della circonferenza.

Inoltre, sappiamo che   $\hat{COD} = 2 \hat{CAB}$ , poiché un angolo al centro e uno alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uno il doppio dell’altro.

Cominciamo quindi trovando le funzioni goniometriche di questo angolo:

$ sin(\hat{COD}) = sin(2 \hat{CAB})$

Applichiamo le formule di duplicazione:

$ sin(\hat{COD}) = sin(2 \hat{CAB}) = 2 sin(\hat{CAB}) cos(\hat{CAB}) = $

$2 * frac(2)(sqrt(13)) * frac(3)(sqrt(13)) = frac(12)(13) $

Troviamo ora il suo coseno tramite la relazione fondamentale:

$cos(\hat{COD}) = sqrt(1 – sin^2 (\hat{COD})) = sqrt(1 – (frac(12)(13))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(144)(169)) = sqrt(frac(169 – 144)(169)) = sqrt(frac(25)(169)) = frac(5)(13)$

Il triangolo in questione è rettangolo, poiché il raggio forma con la tangente un angolo di  $90°$. Quindi, possiamo trovare il lato  $OD$  mediante il primo teorema sui triangoli rettangoli:

$OD = frac(OC)(cos(\hat{COB})) = frac(1)(5/(13)) = (13)/5 $

Con il teorema di Pitagora ricaviamo l’altro cateto:

$CD = sqrt(OD^2 – OC^2) = sqrt(((13)/5)^2 – 1) = sqrt(frac(169)(25) – 1) = $

$sqrt(frac(169 – 25)(25)) = sqrt(frac(144)(25)) = (12)/5 $

Sempre mediante il primo teorema sui triangoli rettangoli ricaviamo  $cos(\hat{CDO})$:

$cos(\hat{CDO}) = frac(CD)(OD) = frac((12)/5)((13)/5) = (12)/5 * 5/(13) = frac(12)(13) $

$sin(\hat{CDO}) = sqrt(1 – cos^2 (\hat{CDO})) = sqrt(1 – (frac(12)(13))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(144)(169)) = sqrt(frac(169 – 144)(169)) = sqrt(frac(25)(169)) = frac(5)(13)$

Il restante angolo,  $\hat{ACB}$ ,  è rettangolo, di conseguenza conosciamo già le sue funzioni goniometriche:

$ sin(\hat{ACB}) = 1       ,      cos(\hat{ACB}) = 0 $

Consideriamo il triangolo  $BCD$;

abbiamo già trovato in precedenza le funzioni goniometriche dell’angolo  $\hat{BDC}$ :

$ cos(\hat{BDC}) = frac(12)(13)       ,      sin(\hat{BDC}) = frac(5)(13) $

Inoltre, abbiamo la lunghezza del lato  $CD$  e del lato  $CB$ :

$CD = frac(12)(5)      ,      CB = frac(4)(sqrt(13)) $

Ricaviamo la lunghezza di  $BD$  per differenza:

$BD = OD – OB = frac(13)(5) – 1 = 8/5 $

Per trovare le funzioni goniometriche dei suoi angoli, applichiamo il teorema dei seni:

$ frac(CB)(sin(\hat{CDB})) = frac(CD)(sin(\hat{CBD})) $

$ sin(\hat{CBD}) = frac(CD * sin(\hat{CDB}))(CB) = frac(frac(12)(5) * frac(5)(13))(frac(4)(sqrt(13))) = $

$ frac(12)(13) * frac(sqrt(13))(4) = frac(3sqrt(13))(13) $

$cos(\hat{CBD}) = sqrt(1 – sin^2 (\hat{CBD})) = sqrt(1 – (frac(3sqrt(13))(13))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(117)(169)) = sqrt(frac(169 – 117)(169)) = sqrt(frac(52)(169)) = sqrt(frac(4)(13)) = frac(2)(sqrt(13)) $

Poiché però questo angolo è ottuso, il suo coseno è negativo:

$ cos(\hat{CBD}) = – frac(2)(sqrt(13)) $

Applichiamo di nuovo il teorema dei seni per trovare le funzioni goniometriche dell’ultimo angolo:

$ frac(BD)(sin(\hat{BCD})) = frac(CD)(sin(\hat{CBD})) $

$ sin(\hat{BCD}) = frac(BD * sin(\hat{CBD}))(CD) = frac(frac(8)(5) * frac(3sqrt(13))(13))(frac(12)(5)) = $

$ frac(24 sqrt(13))(65) * frac(5)(12) = frac(2sqrt(13))(13) $

$cos(\hat{BCD}) = sqrt(1 – sin^2 (\hat{BCD})) = sqrt(1 – (frac(2sqrt(13))(13))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(52)(169)) = sqrt(frac(169 – 52)(169)) = sqrt(frac(117)(169)) = sqrt(frac(9)(13)) = frac(3)(sqrt(13)) $

 

 

Svolgimento (2)

 

 

Determiniamo le funzioni goniometriche dell’angolo  $\hat{CAE}$, sapendo che esso è il doppio dell’angolo $\hat{CAB}$ :

$ \hat{CAE} = 2 \hat{CAB}$

$ cos(\hat{CAE}) =  cos( 2 \hat{CAB}) = 2 cos^2(\hat{CAB}) – 1 = $

$ 2 * frac(9)(13) – 1 = frac(18)(13) – 1 = frac(5)(13) $

$ sin(\hat{CAE}) = sqrt(1 – cos^2 (\hat{CAE})) = sqrt(1 – (frac(5)(13))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(25)(169)) = sqrt(frac(169 – 25)(169)) = sqrt(frac(144)(169)) = frac(12)(13) $

Applichiamo lo stesso procedimento per l’angolo  $\hat{CBE}$ :

$ \hat{CBE} = 2 \hat{CBA}$

$ cos(\hat{CBE}) =  cos( 2 \hat{CBA}) = 2 cos^2(\hat{CBA}) – 1 = $

$ 2 * frac(4)(13) – 1 = frac(8)(13) – 1 = – frac(5)(13) $

$ sin(\hat{CBE}) = sqrt(1 – cos^2 (\hat{CBE})) = sqrt(1 – ( – frac(5)(13))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(25)(169)) = sqrt(frac(169 – 25)(169)) = sqrt(frac(144)(169)) = frac(12)(13) $

 

 

 

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