Dividere un quadrato

Dividere un quadrato

Un segmento che congiunge due lati di un quadrato divide il quadrato in due poligoni. Nel primo caso disegnato i poligoni hanno rispettivamente tre lati e quattro lati. La somma dei lati dei due poligoni ottenuti è 7. Nel secondo caso, lo stesso quadrato è stato diviso da un segmento congiungente due lati in due poligoni di quattro lati. La somma dei lati dei poligoni in questo caso è maggiore, 8.
Nel disegno sono riportati anche due altri casi di divisione del quadrato con due e tre segmenti. Nel terzo caso la somma dei lati dei poligoni ottenuti è 16; nel quarto la stessa somma è 28.

Utilizzando 7 segmenti congiungenti due lati del quadrato, qual è il numero massimo di lati di poligoni ottenibile?

soluzione

soluzione

La soluzione di Matrix Teramo

Sono stati prolungati i 7 lati dell'ettagono regolare (1), fino al quadrato di contorno. In questo modo si ottengono 7 segmenti che generano il massimo numero di nodi interni (e quindi il massimo numero di poligoni). Ogni segmento, infatti, interseca gli altri sei, oltre naturalmente a due lati del quadrato.

Si ottengono quindi 29 poligoni:
1 ettagono (1)
4 esagoni (16-18-19-21)
3 pentagoni (17-20-22)
7 quadrilateri (9-10-11-12-13-14-15)
14 triangoli (2-3-4-5-6-7-8-23-24-25-26-27-28-29)

Il numero complessivo dei lati è pertanto 116.

L'idea di Giancod Roma
Ho trovato la seguente regola: se con K segmenti si ottengono al massimo N lati, con K+1 segmenti se ne ottengono al massimo N+4(K+1).
Per cui 
K=1 –> N = 8. 
K=2 –> N = 8 + 4x(2) = 16
K=3 –> N = 16 + 4x(3) = 28
…………………………………….
K=6 –> N = 64 + 4x(6) = 88
K=7 –> N = 88 + 4x(7) = 116

La generalizzazione di Leon Teramo
Generalizziamo il problema: qual è il numero massimo di lati dei poligoni ottenibili utilizzando n corde congiungenti due lati del quadrato (con n>=2). Il massimo si ottiene quando:
1) ogni corda interseca due lati del quadrato in due punti diversi dai vertici
2) ogni corda è intersecata in n-1 punti dalle rimanenti n-1 corde
Nella figura che si ottiene rispettando le condizioni 1), 2) i lati dei poligoni, giacenti sul contorno del quadrato originario, sono 2n+4 e vanno contati una sola volta; i lati dei poligoni , interni al quadrato sono n*n ma ognuno di essi dev'essere contato due volte. Pertanto il massimo numero dei lati di tutti i poligoni che si vengono a formare è
f(n) = 2n^2 +2n + 4 , per ogni n>=2 [ f(1)=8 ]
Per n=7 si ottiene f(7) = 116.

Una bella costruzione di Ucando Gallarate (VA)

La suddivisione "artigianale" di Amelia Milano

 

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