Il complotto dei triangoli

Nel paese di Flatlandia , i triangoli appartengono alla casta inferiore, mentre i poligoni regolari alla nobiltà.
Un giorno, i 21 triangoli del disegno organizzano un complotto: si uniscono per formare un poligono regolare ed entrare nella casa di un nobile. Uno dei triangoli rimane fuori a  fare il palo. Quale poligono regolare riescono a formare? Quale triangolo rimane a fare il palo?

Costruito il poligono regolare? Trovato il palo? Confronta la tua soluzione con la mia

soluzione

La prima osservazione è che gli angoli del triangolo sono di 30°, 60°, 90°, 120°. Con questi angoli non si può formare un poligono regolare con cinque angoli (pentagono) perché gli angoli di questo poligono misurano 108°; si può formare un esagono perché ha gli angoli di 120° gradi; non si può formare un poligono regolare con sette angoli perché gli angoli di questo poligono misurano 128°. Vi ricordate la formula per calcolare l’angolo interno di un poligono?

(numero di lati -2)*180°/ numero di lati.

Il poligono è quindi probabilmente un esagono di lato 8 cm. A questo punto si può verificare se l’area di questo poligono è inferiore rispetto alla somma delle aree di tutti i triangoli di una quantità che possa corrispondere a uno dei triangoli.

Per comporre l’esagono regolare occorre comporre 6 triangoli equilateri di lato 8 cm. Una possibilità è la seguente

  • triangolo1

  • triangoli 8 e 9

  • triangoli 3, 6, 10

  • triangoli 4, 5, 11, 12

  • triangoli 2, 7, 13, 14, 15

  • triangoli 16, 17, 18, 19, 21

Il triangolo escluso è il 20 con ipotenusa 4 cm.

Una conferma viene dal calcolo delle aree. L’area di un esagono regolare di 8cm di lato è data da

perimetro (8*6=48)*apotema(4*/3 )=166,277cm2

Sommando le aree di tutti i triangoli disegnati si ottiene una superficie di poco più grande, esattamente di 3,464cm2 che corrisponde all’area di un triangolo con angolo di 30°, 60° e 90° e ipotenusa 4cm.

Per calcolare le aree dei triangoli che hanno 30°, 60° e 90°, conoscendo un solo lato si applicano le seguenti formule:

l, ipotenusa, l/2 cateto più piccolo, (l/2)*/3 l’altezza.

 

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