VIII Giornata di studio Analisi Non Standard per le scuole superiori

Gli atti del convegno “VIII Giornata Nazionale di Analisi non Standard” per le scuole superiori scaricabili in formato PDF.

La giornata di studio, organizzata dall’associazione Mathesis sezione di Firenze, in collaborazione con il Dipartimento di Matematica e Informatica “Ulisse Dini” dell’Università di Firenze si è svolta sabato, 6 Ottobre 2018.

Testo a cura di Bruno Stecca, Daniele Zambelli – Mathesis sezione di Verona.

Indice

Presentazione

1 Robinson non standard
1.1 Metamatematica
1.2 Hilbert e Artin
1.3 La teoria dei modelli prima di Robinson
1.4 La model completezza
1.5 Completamenti e compagni
1.6 Cantor e Robinson
1.7 Tributo a Robinson
1.8 Robinson in Italia
Bibliografia

2 Gli infinitesimi in Matematica tra Scienza e Filosofia
2.1 I tre problemi della filosofia matematica
2.2 Primo problema: come contare l’infinito
2.2.1 I numeri cardinali
2.2.2 I numeri ordinali
2.2.3 Tre metodi per contare
2.2.4 Somme transfinite
2.2.5 Cardinali, ordinali e numerosità
2.3 Secondo problema: la natura del continuo
2.3.1 Il paradosso della bisezione del segmento
2.3.2 Alla ricerca del continuo Euclideo
2.3.3 La matematica non archimedea
2.4 Terzo problema: i numeri infinitesimi
2.4.1 Esistenza degli infinitesimi
2.4.2 I numeri reali come arrotondamento dei numeri euclidei
2.4.3 La nozione di derivata
2.4.4 Gli infinitesimi in natura
Bibliografia

3 Delta Functions and Differentation of Discontinuous Functions
3.1 Intuition
3.2 Continuity
3.2.1 Discontinuous functions
3.3 Axioms
3.4 Real numbers
3.5 Induction, non Archimedean collections and internal sets
3.5.1 Internal statements
3.5.2 Induction
3.6 External collections and proper numbers
3.7 The derivative
3.8 Continuity
3.9 Approximating non differentiable functions by C ∞ functions
3.9.1 When it is irrelevant how large is ultralarge
3.9.2 Asymmetrical delta functions
3.9.3 Delta functions
3.9.4 The Heaviside function can be approximated in many ways
3.10 Concluding remarks

4 Da Eudosso a Berkley a oggi: il pregiudizio sulle quantità trascurabili
4.1 Trascurabilità
4.2 Matematica greca
4.3 Aristotele
4.4 Zenone
4.5 Rifiuto dell’infinito anche potenziale?
4.6 Valore degli assiomi
4.7 Definizioni euclidee
4.8 Rapporto tra cerchi
4.9 Esaustione
4.10 Come indovinare il risultato?
4.11 Archimede
4.12 Velocità istantanea
4.13 Berkeley
4.14 Elementi separatori
4.15 Eliminazione degli infinitesimi
4.16 Che sono i numeri?
4.17 Proprietà
4.18 Peano
4.19 Robinson
4.20 Metaosservazione
Bibliografia

5 Calcolo integrale non standard nell’opera di Maria Gaetana Agnesi
5.1 Introduzione
5.2 Premesse di calcolo differenziale
5.2.1 “Usurpare per eguali”
5.3 Il calcolo integrale
5.3.1 Integrali elementari di funzioni polinomiali
5.3.2 L’integrale di x−1 e la curva logaritmica
5.4 Le applicazioni del calcolo integrale
5.4.1 Le quadrature
5.4.2 Le rettificazioni
5.4.3 Le cubature, ovvero i volumi dei solidi di rotazione
5.4.4 L’integrale del logaritmo
5.4.5 Brevi note sull’integrale non standard
5.5 Conclusioni
Bibliografia

6 Percorso non standard per un Istituto Tecnico
6.1 Introduzione e presentazione del percorso
6.2 Il percorso: prima parte
6.3 Il percorso: seconda parte
6.4 Conclusioni
Bibliografia

7 Analisi alla maniera NSA o alla maniera di Cauchy Weierstrass?
7.1 Introduzione
7.2 La continuità
7.2.1 Percorso didattico
7.3 Derivate
7.3.1 La funzione quadratica e i polinomi
7.3.2 Il numero e e la funzione esponenziale
7.3.3 La derivata della funzione composta
7.4 Integrale definito
7.4.1 Percorso didattico
Bibliografia

8 Inserimento dell’Analisi Non Standard nel curriculum liceale
Bibliografia ragionata

9 Gli orologi di Fourier
9.1 Introduzione
9.2 Numeri complessi e lancette
9.3 Un rapporto notevole

10 Numeri iperreali in una classe terza
10.1 Nuovi numeri con cui giocare
10.2 Un’esplosione di numeri
10.3 Operazioni sui tipi
10.3.1 Classificazione e convenzioni
10.4 Numeri finiti e parte standard
10.6 Indistinguibili
10.6.1 Perché usare quantità trascurabili
10.6.2 Cosa posso trascurare e cosa no nei calcoli con gli iperreali?
10.6.3 Indistinguibilità e zero
Bibliografia

11 MGAgnesi: nuovi metodi di insegnamento dal passato
11.1 Maria Gaetana Agnesi
11.2 Il secondo volume delle Instituzioni Analitiche
11.3 Problema della tangente a una curva
11.4 Questione dei fondamenti dell’Analisi
11.5 Conclusioni
Bibliografia

12 Considerazioni sulla matematica presente nei monumenti fiorentini
Bibliografia


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