115. La cosiddetta geometria non euclidea di Felix Klein

klein.jpgLa traduzione italiana di Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie, memoria presentata alla Società Reale delle Scienze di Gottinga, pubblicata il 30 agosto 1871. Si tratta della prima memoria di F.Klein sulle geometrie non euclidee; l’autore conclude il proprio saggio con "Esistono solo tre casi in cui questi piani sono immaginari […]: 1. La superficie fondamentale è immaginaria. In questo caso la geometria è ellittica. 2. La superficie fondamentale è reale, non rigata e ci racchiude. È l’ipotesi della geometria iperbolica. 3. La superficie fondamentale è degenerata in una curva immaginaria. È l’ipotesi della usuale geometria parabolica."

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  1. Ringrazio l’autore di questo articolo Antonio Bernardo, perché mi consente di ricollegarmi con quanto avevo già sostenuto nel commento dell’articolo di Roberto Chiappi: “ Cartesio: scomporre i problemi”.

    Felix Klein è colui che è riuscito a dare una giusta nomenclatura alle Geometrie non Euclidee, ma forse non tutti sanno che esse sono nate molto tempo prima del 1871 e, ancora una volta proprio dal dubbio, un dubbio forse già espresso dallo stesso Euclide, quel dubitabile, il “difettoso” che in matematica genera sempre poi, altre grandi matematiche….. in fondo, credo, che sta proprio in questo la bellezza della matematica,una scienza in perfetta simbiosi con l’uomo, capace di grandi emozioni e di benedetti errori.

    I primi commentatori di Euclide avevano già espresso dei dubbi non sulla validità, ma sull’evidenza del V postulato e si erano sforzati sia di dare una dimostrazione accettabile, sia di sostituirlo con un altro più intuitivo, pare che anche lo stesso Euclide non fosse convito dell’evidenza di questo postulato in quanto ne ha fatto un uso molto limitato nelle sue dimostrazioni.

    Il problema del V postulato era stato ripreso dagli Arabi, poi passò in occidente con l’interesse suscitato da Giovanni Gerolamo Saccheri, che nel 1733,credendo di esservi riuscito a porre fine alla questione, pubblica una dimostrazione per assurdo ma difettosa, ma proprio questo benedetto difetto apre la strada alle geometrie non euclidee coinvolgendo le menti matematiche più penetranti come: Lambert, Legendre, Gauss ,per arrivare alle conferme con Bolyai e Lobacevskij a seguire con Rimann, Klein, Beltrami, Hilbert, Poincaré .

    La scoperta delle geometrie non euclidee mise in crisi il significato stesso di questa scienza e segnò l’inizio di una rivoluzione nel pensiero matematico moderno. I metodi della geometria moderna sono in genere molto diversi da quelli della geometria elementare e si basano sulla geometria analitica fondata da Pascal e Fermat in cui gli enti geometrici sono ricondotti ad equazioni e funzioni, quindi studiati con i metodi dell’analisi matematica. Dalla geometria analitica sono sorti poi due rami importanti della geometria: La geometria algebrica e la geometria differenziale.

    Chissà se Euclide avrebbe mai immaginato quanta meravigliosa geometria sarebbe nata inserendo col dubbio, il V postulato dentro i suoi famosi Elementi!….Tutto questo per omaggiare la tradizione ellenica di cui Euclide è stato sempre e saggiamente rispettoso.