187. Casualità Matematica e Metodo Monte Carlo

montecarlo.pngIl concetto di probabilità è diventato fondamentale per diverse discipline, anche per la statistica, in quanto dà una risposta al problema inverso di quello della statistica. Mentre la statistica cerca di determinare, tramite la conoscenza di risultati sperimentali, quali siano le caratteristiche della popolazione oggetto di studio, nel calcolo delle probabilità, si assume che le caratteristiche siano note e si cerca di calcolare a priori la ‘probabilità’.

 

Metodo Monte Carlo e casualità matematica

Negli ultimi anni ha assunto crescente importanza il “metodo Monte Carlo”, un metodo numerico basato su procedimenti probabilistici, usato in statistica per la risoluzione di problemi di varia natura che presentano difficoltà analitiche difficilmente (o non in altro modo) superabili. Tale metodo è stato citato in un articolo di J. Dongarra e F. Sullivan, pubblicato sulla prestigiosa rivista “Computing in Science and Engineering”, tra i dieci algoritmi con “la più grande influenza sullo sviluppo e la pratica della scienza e dell’ingegneria del XX secolo”. Il metodo Monte Carlo fu formalizzato negli anni ’40 del Novecento da John von Neumann e Stanisław Marcin Ulam, che partecipavano al Progetto Manhattan per lo studio della dinamica delle esplosioni nucleari. A quanto pare, il nome “Monte Carlo” fu coniato da Nicholas Constantine Metropolis in riferimento alla capitale del Principato di Monaco, Montecarlo, dove ha sede il celebre casinò, luogo dell’aleatorietà per antonomasia. Infatti alla base dell’algoritmo ci sono proprio ripetuti campionamenti casuali.

Non è tuttavia una operazione semplice dare una definizione univoca di casualità matematica. Una tra le più note proposte di caratterizzazione formale di questo concetto (cioè quali criteri debba soddisfare una sequenza di numeri per essere casuale) è il criterio di Richard von Mises: una sequenza di numeri è casuale quando sono completamente assenti regole che possano essere applicate con successo per migliorare le previsioni circa il numero successivo della serie. Tale principio è noto come “principio dell’impossibilità di un sistema di gioco” (o “assioma del disordine”). Il criterio di von Mises presenta, tuttavia, una evidente ambiguità quando è applicato a sequenze infinite, in quanto viene a mancare la possibilità di qualsiasi controllo effettivo della casualità della sequenza stessa.

Negli anni ‘30, Karl Popper propose un altro tipo di sequenza casuale: una sequenza finita costruita con una regola matematica. Le idee di Popper si ritrovano nei sistemi fondati su algoritmi per la costruzione delle sequenze di numeri casuali che vengono comunemente adoperate. Tuttavia, è evidente che se si conosce la legge con cui comporre una sequenza, questa non è più definibile, a rigore, casuale: ogni numero è infatti predicibile con probabilità pari al 100%.

Concetti chiave del metodo Monte Carlo

Con il termine di “metodo Monte Carlo” vengono in generale denominate tutte quelle tecniche che adoperano variabili aleatorie artificiali (ovvero generate con un calcolatore) per la risoluzione di problemi (quali il calcolo di quantità o la simulazione di fenomeni). Spesso i ricercatori si trovano a fronteggiare situazioni in cui hanno bisogno di conoscere la probabilità di un determinato evento condizionato da un numero elevato di variabili che rendono molto difficoltosi i calcoli analitici. In tali situazioni, generalmente si adottano metodi di campionamento simulato (cioè si simula la situazione nella quale si vuole calcolare la probabilità di un certo evento). La simulazione stocastica si attua riproducendo il meccanismo preso in esame; sostituendo la valutazione analitica con l’osservazione empirica del fenomeno; e traendo da quest’ultima le informazioni non rilevabili per via analitica. Tuttavia, è accertato che questo non è il metodo più efficace per trovare la soluzione di un problema, in quanto la procedura del campionamento simulato porta ad un risultato sempre influenzato dall’errore statistico. L’applicazione di questo metodo non è ristretta solamente ai problemi di natura statistica, ma include tutti i casi in cui è possibile trovare un collegamento tra il problema in esame ed il comportamento di un certo sistema aleatorio…


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  1. Chiara esposizione della storia e delle applicazioni del Metodo MonteCarlo.
    Può interessare anche una applicazione derivante dalla gestione dei progetti:

    Oltre a garantire l’aderenza alle specifiche e la qualità dello scopo del lavoro, nella gestione dei progetti è importante valutare quali rischi ci sono di non rispettare tempi e costi previsti nella realizzazione del progetto.
    Con l’aiuto del metodo Monte Carlo è possibile costruire due profili del rischio che indicano quale è la probabilità (rischio) di superare il budget di progetto e quale è la probabilità di non rispettare i tempi di consegna concordati con il cliente.
    Nella sezione “problem solving avanzato” sarà presto presentato un problema che mostra come si può costruire un profilo del rischio senza ricorrere al Metodo Monte Carlo. Il metodo (più semplice, ma anche più approssimativo del metodo Monte Carlo) si basa sulla concezione soggettiva della probabilità e sul teorema del limite centrale.