Problema. Una società europea, che detiene una solida posizione nella produzione di auto, dopo anni di laboriose ricerche ha sviluppato un pacchetto di tecnologie all’avanguardia. Il management ha pertanto deciso che è giunto il momento di valorizzare questi risultati e incarica i suoi direttori tecnici di progettare una nuova auto, di media cilindrata, che si avvalga del know-how. Dopo un anno di intenso lavoro i tecnici consegnano il progetto. Entrano allora in azione gli esperti di costi e di mercato che dovranno fornire una stima preliminare di costi e ricavi. Immaginiamo che la valutazione dei costi, sulla base di ampie e pluriennali esperienze in materia, sia relativamente semplice e piuttosto precisa. Intanto i tecnici individuano una linea di produzione esistente e quasi obsoleta che pare adatta con opportune modifiche e migliorie ad accogliere la nuova auto. In tal modo si potrà limitare l’investimento necessario a solo 600 milioni di € (in seguito M€).
Viene inoltre sviluppata una funzione di costo che tenga conto di costi fissi e variabili in funzione del numero N di auto prodotte in un anno:
\[\begin{equation}C = C_0 + C_1 N\label{eq1}\end{equation}\]
Il costo $C$ ha dunque un andamento lineare dove $C_0$ (costo fisso) è la parte di costo che non dipende dal volume di produzione, mentre $C_1$ è il costo variabile unitario.
Molto più complesso e incerto è il lavoro degli esperti di marketing e vendite: occorre, in qualche modo, stimare il mercato potenziale per la nuova auto. Trattandosi di un modello molto innovativo la società ritiene possibile applicare un prezzo piuttosto elevato (premium price). Il problema è capire quanti automobilisti sono potenzialmente interessati a questa auto. Intuiamo che quanto più alto sarà il prezzo tanto più basso sarà il numero degli acquirenti e viceversa. Questo semplice concetto è tradotto, secondo la teoria economica, dalla funzione di domanda. In questo caso si tratta della funzione di domanda per il modello in oggetto. Per determinarla gli esperti di marketing/vendite incaricano una società di consulenza di fare una ricerca di mercato. Alla conclusione del lavoro viene fornita la seguente funzione:
Anche questa funzione è di tipo lineare ed è rappresentabile nella forma
\[ \begin{equation}P = a + bN \label{eq2}\end{equation}\]
Dove l’ordinata all’origine $a$ (prezzo corrispondente ad acquisti zero) è ovviamente positiva, mentre il coefficiente angolare $b$ è negativo (funzione decrescente).
Non sarà ozioso chiedersi come potrebbero evolvere le vendite nel tempo, a partire dall’anno di inizio produzione. L’esperienza insegna che all’inizio le vendite sono modeste: pochi clienti, di spirito innovativo e probabilmente benestanti. Se il modello piace e dimostra prestazioni valide, il passaparola e la pubblicità faranno crescere, anno dopo anno, le vendite. Che continuano a svilupparsi fino alla maturità commerciale. Spesso la maturità si protrae per numerosi anni, prima dell’inevitabile declino. L’andamento ora descritto è ben rappresentato dalla funzione logistica:
Supponiamo che questo diagramma sia stato preparato da Dipartimento Vendite facendo uso dei risultati dei consulenti di mercato. Si è stimato che il primo anno si possano vendere 10000 auto e il mercato cresca abbastanza velocemente raggiungendo dopo circa sette anni la piena maturità. Da allora le vendite rimarranno stabili fino al quindicesimo anno. In tale periodo il modello sarà sottoposto ogni tre/quattro anni ad alcune migliorie (incluso un po’ di restyling). Oltre il 15° anno si assume che questo modello diventerà tecnicamente obsoleto e sarà prudenziale assumere che si dismetta la produzione.La funzione logistica che rappresenta questo andamento è la seguente:
\[N_{t+1} = N_t + rN_t (1-N_t/k) = (1+r)N_t – rN^2_t / k \]
Si tratta quindi di una funzione a valori discreti che fornisce il numero di auto vendute nell’anno $t+1$ in funzione di quelle vendute nell’anno precedente e di due parametri $r$ e $k$. Quest’ultimo è il valore stazionario alla maturità del mercato.
Il passo successivo effettuato dall’ingegneria gestionale è la scelta ottimale del volume di produzione /vendita desiderabile alla maturità del business. Questa scelta (riportata in APPENDICE) ha portato a scegliere N = 70000 auto che, sulla funzione di domanda, corrispondono al prezzo di 37500 €/auto.
Tutto questo pacchetto di informazioni e valutazioni viene ora passato all’ Ingegneria Gestionale della società perché effettui una prima valutazione del business. Lo scopo del loro lavoro sarà di capire se questa iniziativa è accettabile dal punto di vista finanziario.
La cosa a prima vista può apparire un po’ nuova e forse strana a chi non ha esperienza della materia. Non basterebbe fare un calcolo a valori correnti? Vale a dire sommare tutti i ricavi ottenibili lungo l’arco di vita del business e detrarre da questi tutti i costi. La risposta è negativa, per un semplice motivo: occorre tenere conto del valore del denaro nel tempo. Ricevere una determinata somma fra tre anni è molto meglio che riceverla fra dieci o, peggio ancora, fra quindici anni. Ecco allora che entra in campo la valutazione finanziaria che valuta tutti i flussi di cassa (vale a dire tutti gli incassi ed esborsi dell’azienda, anno per anno), attualizzandoli all’anno zero (di inizio) del business. Questo procedimento, di uso aziendale abbastanza comune, è stato ampiamente descritto e applicato in diversi articoli da Roberto Chiappi (1). La Matematica Finanziaria ci assicura che riportando i flussi di cassa di ogni anno all’anno zero è possibile fare calcoli finanziariamente coerenti. Vediamo sotto la tabella con i risultati completi.
La tabella sopra riporta, fino alla riga dell’utile U2 incluso, i dati della contabilità pro-forma necessari per il bilancio economico. Le righe successive riportano il cash flow (flusso di cassa), il discounted cash-flow (flusso di cassa scontato) ed i rispettivi valori cumulati. Tutte queste ultime quattro righe riguardano flussi di cassa effettivi. Per il generico anno $i$:
\[ DCF_i = CF_i \frac{1}{(1+WACC)^i} \]
Si ha dunque che il $DCF_i$ si ottiene moltiplicando il $CF_i$ per il termine \( \frac{1}{(1+WACC)^i} \)detto fattore di sconto. Quest’ultimo è un numero \( \le 1\), pertanto: \( DCF_i \le CF_i\)
Il fattore di sconto presenta a denominatore la variabile \(WACC\), detta weighted average cost of capital, la quale altro non è che un tasso di interesse medio ponderato (descritto in APPENDICE).
Si noti che il bilancio riporta anche la voce ammortamento (si è assunto 10 anni a quote costanti), che non è certo un flusso di cassa, ma risulta necessario, essendo deducibile dall’utile lordo per fare in modo che si riduca la tassazione. Quest’ultima è un flusso di cassa. Il calcolo di $CF_i$ si può fare in due modi (2) e (3):
\( CF_i = U2_i + A_i \quad\quad (A_i = \text{ammortamento)} \)
oppure partendo dal margine:
\( CF_i = (R_i-C_i)(1-t)+A_it \quad\quad \text{che vale quando } T_i \gt 0 \)
\( CF_i = R_i-C_i \quad\quad \text{che vale quando } T_i = 0 \)
dove abbiamo indicato con $T_i$ la tassazione per l’anno $i$, con $t$ l’aliquota di tassazione.
I valori cumulati del flusso di cassa (terzultima riga) e del cumulato del flusso di cassa scontato (ultima riga) si prestano ad essere riportati in un diagramma. Si ottengono in tal modo le due curve sotto riportate.
Dove si nota che, nel nostro caso del nuovo modello di auto, entrambe le curve partono con valori negativi, decrescono (nei primi anni il margine è negativo) e poi crescono negli anni successivi fino a raggiungere dopo alcuni anni valori positivi. La curva dei $CF_i$ cumulati misura il bilancio complessivo a valori correnti dall’anno zero all’ anno i. Mentre la curva dei $DCF_i$ cumulati misura il bilancio corrispondente dei flussi scontati. Notiamo che la curva dei $DCF_i$ cumulati sta sempre sotto quella dei $CF_i$ cumulati. Il valore del $DCF_i$ nell’anno di fine vita del business (nel nostro caso $i =15$) si definisce NPV (Net Present Value) ed è l’indice fondamentale per giudicare la convenienza del business. Per definizione:
\[ NPV = \sum_{i=1,n} \frac{CF_i}{(1+WACC)^i} \]
Ora se risulta \(NPV \gt 0\) il business viene considerato finanziariamente valido. Il che vuol dire che i proventi ottenuti complessivamente dal business nel suo intero ciclo di vita sono adeguati per ripagare gli interessi sui debiti e i dividendi e inoltre restano in cassa alla società dei profitti non distribuiti (retained earnings). Quanto più grande è NPV, tanto più solido è il business. Dovendo scegliere tra diversi business alternativi di solito si preferisce quello che presenta il valore maggiore di NPV.
Nel caso molto particolare in cui risulti $NPV = 0$ la società riesce a pagare tutti gli interessi ma non restano profitti in cassa, vale a dire chiude in pareggio finanziario (break-even). Il valore di WACC che produce il pareggio si definisce IRR (Internal Rate of Return) e rappresenta dunque il costo del capitale più elevato che la società potrebbe sopportare senza andare in perdita. Ovviamente perché il business sia valido, deve essere WACC < IRR, in quanto la società desidera – anzi deve – ottenere un profitto dopo aver ripagato tutti i costi, le tasse, gli interessi, i dividendi.
Tornando al problema del nuovo modello di auto vediamo dalla tabella che NPV = 736 M€. Questo ci induce a ritenere il business valido.
Risulta inoltre \(WACC = 3,6\% \lt \lt IRR = 9,2\%\).
La curva dei flussi di cassa cumulati interseca l’asse orizzontale all’anno 9: è questo il numero di anni (PB = payback) necessario per il rientro dell’iniziativa a valori correnti. Mentre la curva dei flussi di cassa attuali cumulati interseca nell’anno 11: questo è il numero di anni necessario per il rientro finanziario (PBA = payback attualizzato). Dei due payback quello importante è il PBA. Concludiamo che sul ciclo di vita della nuova auto, pari a 15 anni, ce ne vogliono 11 per uscire dalla zona negativa.
Notiamo che il ricavo annuo è dato dal prodotto delle auto vendute per il prezzo dell’auto deciso dalla società. Tuttavia prezzo e numero auto non sono variabili indipendenti. Una volta deciso il prezzo, il numero di auto che saranno comprate si ricava dalla funzione di domanda, e viceversa.
A questo punto potremmo concludere che abbiamo determinato il numero di auto da produrre alla maturità ed il relativo prezzo da richiedere al mercato. Inoltre abbiamo determinato il valore di NPV e il valore di IRR. Entrambi risultano accettabili. Dunque abbiamo concluso la valutazione?
A dire il vero no. Come abbiamo detto la funzione di domanda che abbiamo stimato non può essere ritenuta completamente affidabile. Per sentirci più sicuri vogliamo fare un’analisi di sensitività della funzione di domanda. Dal momento che la funzione di domanda è una retta, individuata dai suoi due parametri, vogliamo capire come varia la domanda ad una variazione, diciamo del 10%, dei parametri.
Fatto il calcolo, ci ritroviamo il seguente diagramma.
La retta in rosso è quella iniziale già nota. Al variare dei parametri a e b la retta slitta verticalmente (su e giù) e ruota. Inoltre notiamo che mentre abbiamo assunto che il numero ottimale di auto sia 70000, la realtà potrebbe essere un po’ diversa: non possiamo costringere il mercato a comprare le auto che desideriamo produrre. A tal fine rifacciamo la valutazione completa di NPV per le rette verde, rossa e blu in funzione del numero di auto venduto alla maturità del mercato. E otteniamo un nuovo diagramma, riportato sotto.
E otteniamo come varia NPV in funzione del livello di produzione/vendita per le tre rette di domanda. Le curve presentano un massimo che trasla leggermente a destra tra le diverse linee, da circa 65000 a circa 75000 auto. In ogni caso notiamo che, mantenendo il livello di produzione nell’ampia zona da 40000 a 90000 auto, il valore di NPV risulta sempre positivo. La sensitività conferma che il business risulta affidabile.
Tuttavia, come si è visto, resta il fatto che il business richiede 11 anni per raggiungere il pareggio finanziario. In definitiva i profitti verrebbero solo dagli ultimi quattro anni di vita di questo modello di auto. Questo è un elemento di rischio notevole. Il Consiglio di Amministrazione della società deve riflettere adeguatamente per decidere se approvare questa iniziativa oppure accantonarla e valutare qualche altro progetto più solido.
Dati e calcoli sono riportati nel file EXCEL associato all’articolo.
APPENDICE: WACC
Il WACC (4), come si è detto, rappresenta il tasso di interesse medio ponderato che si usa per attualizzare i flussi di cassa $CF_i$. Qui dobbiamo spiegare come nasce. Qualsiasi società, quando decide di fare un investimento necessita di un capitale, spesso di notevole grandezza, tipicamente milioni di €. Ben raramente una società possiede tale capitale. Se lo può procurare in due modi: chiedendo un prestito, oppure emettendo azioni. Nel caso del prestito può ricorrere a una o più banche oppure può emettere un prestito obbligazionario sul mercato, rivolgendosi ai singoli risparmiatori. In entrambi i casi, la società sottoscrive un debito D e i creditori chiedono di essere ricompensati a un determinato tasso d’interesse $K_D$. Naturalmente la società s’impegna anche alla restituzione del capitale D, a una data futura oppure a rate.Nel caso dell’emissione di azioni la faccenda è piuttosto differente. La società si presenta su mercato offrendo un pacchetto di azioni (di solito milioni di azioni) ciascuna ad un determinato valore nominale. Le azioni vengono acquistate dai privati o da Fondi tramite intermediari finanziari. Chi acquista le azioni diventa proprietario della società per la frazione di capitale sottoscritto. E partecipa al rischio d’impresa. Ovviamente che investe in azioni si aspetta una remunerazione annua: si chiama dividendo. Definiamo dunque $K_E$ il dividendo, vale a dire l’interesse che l’azionista si aspetta di ricevere. Tale dividendo va riferito al valore totale della società per gli azionisti, che definiamo E (Equity). L’Equity è costituita dal capitale sociale versato inizialmente dagli azionisti più/meno delle poste di bilancio che si verificano durante la vita della società. Notiamo per inciso che mentre $K_D$ è un interesse stabilito per contratto, K_E non è prefissato. Il suo valore dipende dall’andamento annuale della società ed è dunque variabile, a decisione della società. Può anche essere nullo in qualche anno negativo per la società.
Nel caso più generale avviene che la società, per finanziare i suoi progetti, si procuri il capitale I, necessario al progetto, in parte indebitandosi (D) e in parte emettendo azioni (E).
Ora nella determinazione del fattore di attualizzazione la società usa come tasso d’interesse (WACC) una media pesata dei due tassi d’interesse $K_D$ e $K_E$. Questa la formula:
\[ WACC = \frac{K_E E + (1-t)K_D D}{E+D} \]
Il denominatore $E + D = I$ è il capitale totale investito nella società.
Notiamo che nella formula compare il termine $(1-t)$, dove $t$ è l’aliquota fiscale societaria, che si applica nel Paese dove ha sede la società. Questo termine è presente per rendere conto del fatto che l’interesse che la società paga sul debito è fiscalmente detraibile.
Notiamo ora due elementi importanti:
- \(K_E \gt K_D\) Spiegazione: il tasso d’interesse (dividendo) richiesto dagli azionisti è superiore al tasso di interesse richiesto dai creditori. In quanto gli azionisti si assumono il rischio di impresa.
- Nella formula $K_D$ viene moltiplicato per $(1-t)$ che è \( \lt 1 \).
In conclusione nella formula del WACC risulta che $K_E$ (coefficiente della parte azionaria) è molto più pesante di $(1-t) K_D$ (coefficiente del debito).
Dal momento che ogni società desidera minimizzare il WACC , a parità di capitale totale è preferibile ricorrere al debito piuttosto che all’Equity. Si definisce Leverage Ratio la percentuale del debito sul capitale totale:
\[ L = \frac{D}{E+D} \quad\quad \text{dove } 0 \lt l \lt 1 \]
In base a quanto detto sembrerebbe che il valore $L=1$ sia ottimale, dal momento che rende minimo il WACC. Tuttavia non è possibile avere valori di $L$ molto elevati, perché una società molto indebitata è considerata molto rischiosa e quindi avrebbe notevoli difficoltà a chiedere altri prestiti o a emettere nuovo capitale azionario. Inoltre gli investitori esistenti pretenderebbero un valore $K_E$ molto elevato – e dunque difficilmente sostenibile per la società – per invogliarli a rimanere azionisti.
APPENDICE: DETERMINAZIONE DEL LIVELLO DI PRODUZIONE OTTIMALE
Sappiamo che le funzioni di costo $C_i$ e di ricavo $R_i$ sono entrambe funzioni del numero $N$ di auto prodotte e vendute ogni anno alla maturità del mercato. Nella tabella dei bilanci abbiamo definito la variabile Margine (\(M_i= R_i -C_i\)). Ora le due variabili sono state descritte dalle (\(\ref{eq1}\)) e (\(\ref{eq2}\)) come funzioni del numero di auto $N$.
Dunque:
\( M_i= N_i P_i-C_i=N_i (a-bN_i)-(C_0+C_1 N_i)\)
Se prendiamo la derivata rispetto a $N_i$ e la azzeriamo possiamo trovare gli eventuali punti di stazionarietà.
Risulta:
\(\frac{dM_i}{dN_i}=a-2bN_i-C_1 = 0 \rightarrow N_i= \frac{a-C_1}{2b} \)
Che non dipende da $i$.
La derivata seconda vale:
\(\frac{d_2 M_i}{d^2 N_i}=2b \lt 0\quad\quad \text{essendo } b \lt 0 \)
Quindi abbiamo un punto di massimo del margine. Con i dati del problema risulta essere $N = 70000$ auto, che sulla funzione di domanda corrisponde a $P = 37500€$. Alla maturità del business il margine (annuo) vale $525M€$.
RIFERIMENTI
- https://www.matematicamente.it/esercizi-svolti/problem-solving-avanzato/problema-8-indici-multicriteri-esempio-nella-valutazione-degli-investimenti/
- http://web.tiscali.it/lanzavecchia/pub/analisi_investimenti.pdf (metodi analisi investimenti)
- http://docplayer.it/1100885-Analisi-degli-investimenti-dispensa-per-i-corsi-di-ingegneria.html (dispense metodi analisi investimenti, inclusi ammortamenti)
- https://it.wikipedia.org/wiki/Costo_medio_ponderato_del_capitale (definizione e uso WACC)