Il procedimento per la determinazione del quoziente e del resto può essere semplificato nel caso in cui il divisore \( B \) è un polinomio del tipo \( B = x \pm c \) , cioè se il divisore è un binomio di primo grado monico, cioè con coefficiente della x uguale a 1.
La procedura che illustreremo prende il nome di Regola di Ruffini.
Vediamo come fare con un esempio; consideriamo il polinomio dividendo \( A = 3x^3 + 4x^2 – 5x + 7 \) e il polinomio divisore \( B = x – 2 \); inseriamo i coefficienti dei polinomi in uno schema, in questo modo:
Procediamo così:
- “abbassiamo” il primo coefficiente e spostiamolo sulla terza linea;
- Moltiplichiamolo per il termine noto del divisore cambiato di segno;
- Riportiamo il risultato nel secondo spazio della seconda riga;
- Sommiamo i coefficienti che si trovano incolonnati e riportiamo il risultato nella terza riga della medesima colonna;
- Riapplichiamo il procedimento (in generale, si continua ad applicare il procedimento finché non finiscono gli spazi della terza linea);
- L’ultima moltiplicazione ci porta a scrivere il prodotto nello spazio sottostante al coefficiente del dividendo;
- Sommiamo i numeri incolonnati: il risultato sarà il resto della divisione.
Vediamo in dettaglio tutti i passaggi:
Il polinomio che otteniamo come quoziente ha per coefficienti i numeri che leggiamo sulla terza linea (l’ultimo rappresenta il termine noto); avremmo quindi;
\( Q = 3x^2 + 10x + 15 \)
Il resto, invece, è dato dall’ultimo numero che compare sulla terza linea, al di fuori dello schema:
\( R = 37 \)
Applicazione della regola di Ruffini quando il divisore è del tipo ax – c
Nel caso in cui il coefficiente del polinomio divisore è diverso da 1, possiamo sfruttare la proprietà invariantiva della divisione, per cui se in una divisione si moltiplicano e si dividono sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero diverso da zero, il risultato non cambia, e il resto viene moltiplicato o diviso per quel numero.
Per determinare quindi il quoziente \( Q \) e il resto \( R \) della divisione tra il polinomio e il binomio \( A \) di primo grado, si procede in questo modo:
- Si dividono sia \( A \) che \( B \) per ‘a’, cioè si dividono per ‘a’ tutti i termini del dividendo e del divisore; chiamiamo i polinomi ottenuti \( A’ \) e \( B’ \);
- Con la regola di Ruffini si determinano il quoziente \( Q \) e il resto \( R \) della divisione tre il polinomio \( A’ \) e il binomio \( B’ \) ;
- Il quoziente della divisione tra \( A \) e \( B \) è sempre \( Q \) e il resto \( R \) si ottiene moltiplicando \( R’ \) per ‘a’.
Esempio
Consideriamo i polinomi \( A = x^3 + 8x^2 + 6x – 4 \) e \( B = 2x + 1 \) e calcoliamo il loro quoziente;
Dividiamo per 2 (il coefficiente del termine di primo grado del polinomio divisore) tutti i termini dei polinomi \( A \) e \( B \), ottenendo i polinomi \( A’ \) e \( B’ \):
\( A’ = \frac{1}{2}x^3 + 4x^2 + 3x – 2 \)
\( B’ = x – \Big(-\frac{1}{2}\Big) \)
Applichiamo la regola di Ruffini:
Il quoziente della divisione sarà quindi:
\( Q = \frac{1}{2}x^2 + \frac{15}{4} + \frac{9}{8} \)
Il resto \( R’ \) è : \( R’ = – \frac{41}{16} \) ; per ottenere il resto \( R \) lo moltiplichiamo per due: \( R = R’ \cdot 2 = -\frac{41}{16} \cdot 2 = – \frac{41}{8} \)
Altre risorse utili
Videolezione sulla regola di Ruffini.