Definizioni
Si dice polinomio una somma algebrica di monomi, in cui i monomi addendi che lo costituiscono sono detti termini del polinomio.
Un polinomio si dice ridotto in forma normale, o solamente ridotto, se in esso non compaiono monomi simili, cioè se sono stati sommati fra loro tutti i monomi simili che vi comparivano.
Esempio di polinomio ridotto in forma normale: \( 3ab^2 + 5bc + a^2b^4 \);
In un polinomio ridotto in forma normale può comparire solo un valore numerico diverso da zero, che viene detto termine noto.
Esempio: \( 4ab^2c + 3 \) il termine noto è 3;
Se tutti i monomi che formano il polinomio sono simili, il polinomio ridotto in forma normale si riduce semplicemente ad un monomio.
I polinomi ridotti in forma normale vengono definiti in questo modo:
- Monomio : polinomio costituito da un solo termine;
- Binomio : polinomio costituito da due termini;
- Trinomio: polinomio costituito da tre termini;
- Quadrinomio: polinomio costituito da quattro termini;
Polinomi uguali
Due polinomi di dicono uguali se, ridotti a forma normale, sono formati dagli stessi termini, cioè da monomi rispettivamente uguali.
Esempio: \( \color{red}{-2ab} + 5 \color{green}{+\frac{3}{5}x^4} \) e \( \color{red}{-2ab}\color{green}{+\frac{3}{5}x^4} \) sono polinomi uguali;
Polinomi opposti
Due polinomi si dicono opposti se, ridotti a forma normale, sono formati da termini opposti.
Esempio: \( \color{red}{2ab} -5 \color{green}{-\frac{3}{5}x^4} \) e \( 5 \color{red}{-2ab}\color{green}{+\frac{3}{5}x^4} \) sono polinomi opposti;
Polinomio nullo
Un polinomio si dice nullo quando tutti i suoi termini hanno coefficiente uguale a zero.
Esempio: \( 0ab + 0a^4c^2 + 0c^4 \)
Grado di un polinomio
Il grado complessivo di un polinomio, o semplicemente grado di un polinomio, (non nullo) è il massimo dei gradi dei monomi che lo compongono.
Non vi è, invece, una definizione per il grado di un polinomio nullo.
Si definisce grado rispetto ad una lettera di un polinomio non nullo l’esponente maggiore con cui quella lettera compare nel polinomio.
Un polinomio è omogeneo quando tutti i suoi termini hanno lo stesso grado.
Esempio: \( 3xy + 5x^3y + \frac{1}{2}x^2y^2-xy^4-3y^2z \)
Il grado del polinomio è 5, che è il grado del quarto termine che lo compone, ed è il massimo; il grado rispetto alla lettera x è 3, rispetto la lettera y è 4, rispetto alla lettera z è 1.
Esempio: \( 3x^3y + 5x^2y^2 + \frac{1}{2}y^4 \) è un polinomio omogeneo di quarto grado.
Polinomi ordinati
Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti di una lettera se i suoi termini sono disposti in modo che gli esponenti di quella lettera siano in ordine decrescente.
Analogamente, un polinomio si dice ordinato secondo le potenze crescenti di una lettera se i suoi termini sono disposti in modo che gli esponenti di quella lettera siano in ordine crescente.
Tale lettera si dice lettera ordinatrice.
Un polinomio è ordinato, se lo è per le potenze crescenti o decrescenti rispetto ad una lettera.
Esempio: Il polinomio \( -a^4 +2a^3b +3a^2b^2 -ab^3 +5b^4 \) è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera a e anche secondo le potenze crescenti della lettera b.
Polinomi completi
Un polinomio è completo rispetto ad una lettera se i suoi termini contengono tutte le potenze di quella lettera, da quella di grado massimo a quella di grado zero.
Se un polinomio contiene un’unica lettera, si parla semplicemente di polinomio completo.
Esempio: il polinomio \( 2x^4 + x^3 -x^2 + 5x – 1 \) è completo rispetto alla lettera x.
Principio di identità dei polinomi
Consideriamo polinomi in cui, come parte letterale, compaia solo una lettera, che nei vari termini del polinomio si presenta con gradi differenti, come per esempio nel polinomio \( 3x^2 +2x -5 \).
Il principio di identità dei polinomi afferma che condizione necessaria e sufficiente affinché due polinomi nella stessa variabile siano identicamente uguali è che, ridotti a forma normale, abbiamo uguali i coefficienti dei termini di grado uguale.
Esempio: I polinomi \( 3x^2 + 2x – 5 \) e \( hx^2 + 2x + k \) nella variabile x sono identicamente uguali se e solo se \( h = 3 \wedge k = 5 \).
Altre risorse utili
Test di 27 domande sui polinomi.