I circuiti RLC - Matematicamente

Impedenza e reattanza

Un circuito RLC è costituito da un alternatore che produce una forza elettromotrice, collegato in serie con un’induttanza L, una resistenza R e un condensatore di capacità C.

I valori efficaci della forza elettromotrice e dell’intensità di corrente sono direttamente proporzionali, e relazionati, in un circuito RLC in serie, dalla seguente formula:

$ f_(eff) = Z * i_(eff) $

dove Z indica una nuova grandezza definita impedenza del circuito; il valore di Z dipende dalla resistenza R del circuito, dall’induttanza L, dalla capacità del condensatore C e dalla pulsazione ω della forza elettromotrice:

$ Z = sqrt(R^2 + (ω * L – frac(1)(ω * C))^2)$

I termini che compaiono all’interno della formula dell’impedenza rappresentano grandezze particolari; il valore ωL prende il nome di reattanza induttiva, mentre la grandezza 1/ωC si definisce reattanza capacitiva.

Notiamo che il valore efficace dell’intensità di corrente è inversamente proporzionale all’impedenza del circuito; quindi, si avranno valori maggiori dell’intensità di corrente quando Z assume valori piccoli.

Minori valori di Z si hanno per base resistenze, cioè quando il valore di R è piuttosto piccolo, o quando si ha l’uguaglianza:

$ LC = frac(1)(ω^2)$

che equivale, cioè, all’annullamento della quantità tra parentesi.

Quando ciò accade si dice che il circuito è in condizione di risonanza.

In questo tipo di circuiti, la forma elettromotrice si ottiene in funzione del tempo con la stessa formula già vista nel caso degli alternatori:

$ f_(em) (t) = f_0 * sin (ω t)$

Possiamo anche calcolare l‘intensità di corrente, in funzione del tempo, per un circuito RLC a cui è applicata una forza elettromotrice come quella precedente:

$ i(t) = frac(f_0)(Z) * sin (ω t – φ)$

Notiamo che nell’argomento del seno compare un angolo φ, detto angolo di sfasamento; possiamo individuare tale angolo con la seguente relazione:

$ tg (φ) = frac(ω * L – frac(1)(ω * C))(R)$

In un circuito in condizione di risonanza, la forza elettromotrice e l’intensità di corrente (efficaci) risultano in fase: in questo caso, quindi, è come se l’induttanza e la capacità del condensatore non influenzassero, cioè come se fosse presente esclusivamente la resistenza totale del circuito.

Esercizio

Consideriamo un circuito RLC in serie avente, collegati in serie, una resistenza R = 8,0 Ω, un’induttanza di 0,50 H e un condensatore di capacità 6,0 μF.

Nel circuito è presente un alimentatore che produce una tensione alternata, il cui valore massimo è di $2,0 * 10^2 V$ e la cui frequenza è di 50 Hz.

Calcolare l’impedenza del circuito, la corrente massima che circola all’interno di esso e la frequenza di risonanza.

Per calcolare l’impedenza del circuito procediamo calcolando prima la reattanza induttiva e la reattanza capacitiva; per la prima grandezza abbiamo:

$ω * L = 2πf * L = 2π * 50 Hz * 0,50 H = 157 Ω$

dove, ricordiamo, la pulsazione è data dal prodotto di 2π per la frequenza;

mentre per la reattanza capacitiva abbiamo:

$ frac(1)(ω * C) = frac(1)(2πf * C) = frac(1)(2π * 50 Hz * 6,0 * 10^(-6) F) = 531 Ω$

Possiamo ora sostituire i valori trovati all’interno della formula di Z, e determinare così il valore dell’impedenza:

$ Z = sqrt(R^2 + (ω * L – frac(1)(ω * C))^2) = sqrt((8,0 Ω)^2 + (157 Ω – 531 Ω)^2) = 374 Ω$

Cerchiamo ora il valore della corrente massima che circola nel circuito; ricordiamo che, nel caso di circuiti RLC in serie, abbiamo la seguente relazione tra i valori efficaci della tensione e dell’intensità di corrente:

$ f_(eff) = Z * i_(eff) $

Dato che il problema fornisce il valore della tensione massima del circuito, possiamo utilizzare la relazione precedente per terminare il valore massimo dell’intensità di corrente; abbiamo quindi:

$ i_(max) = frac(f_(max))(Z) = frac(2,0 * 10^2 V)(374 Ω) = 0,535 A$

Passiamo ora all’ultimo quesito del problema.

Ricordiamo che un circuito si dice nella condizione di risonanza quando l’impedenza raggiunge il suo valore minimo, e risulta uguale alla resistenza del circuito. Questa condizione equivale anche all’annullarsi della quantità tra parentesi che compare all’interno della formula di Z, e cioè alla seguente condizione:

$ LC = frac(1)(ω^2)$

poiché conosciamo il valore della capacità, e quello dell’induttanza, possiamo ricavare il valore di ω, che viene definito pulsazione di risonanza:

$ LC = frac(1)(ω^2) to ω = frac(1)(sqrt(LC))$

sostituiamo i valori numerici e determiniamo il valore della pulsazione di risonanza:

$ ω = frac(1)(sqrt(LC)) = frac(1)(sqrt(0,50 H * 6,0 * 10^(-6) F)) = 577 s^(-1)$

Ricordiamo ora che la pulsazione e la frequenza sono legate tra loro per un fattore 2π; abbiamo, quindi, che la frequenza è data dalla seguente espressione:

$ ω = 2πf to f = frac(ω)(2π)$

Sostituiamo i valori numerici e determiniamo il valore della frequenza di risonanza:

$ f = frac(ω)(2π) = frac(577 s^(-1))(2π) = 92 Hz$