Le equazioni di Maxwell hanno il ruolo di assiomi della teoria, in quanto, egli affermò, da esse è possibile trarre tutte le proprietà dell’elettricità, del magnetismo e dell’induzione elettromagnetica.
Queste equazioni riguardano due aspetti fondamentali del campo elettrico e magnetico, che sono il flusso del campo attraverso una superficie chiusa, e la circuitazione di esso lungo un percorso chiuso.
Vediamo, quindi, quali sono queste equazioni.
- La prima equazione di Maxwell riguarda il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa, ed è anche detta teorema di Gauss del campo elettrico:
$ Φ_S (vec E) = frac(Q)(ε_0)$
dove S indica la superficie chiusa, Φ il flusso di campo elettrico attraverso di essa, e Q la carica elettrica interna; $ε_0$, invece, è la costante dielettrica nel vuoto.
- La seconda equazione riguarda la circuitazione del campo elettrico lungo un percorso chiuso; nel caso dell’elettrostatica e nel caso di correnti continue, sappiamo che la circuitazione è nulla, e questo spiega come mai il campo elettrostatico è conservativo.
Nel caso generale, invece, posiamo esprimere la circuitazione del campo elettrico con la formula:
$ Γ (vec E) = \oint_{Γ} vec E * d vec S = – frac(∆Φ (vec B))(∆t)$
Come abbiamo già visto, la circuitazione del campo elettrico lungo un percorso chiuso dipende dalla variazione del flusso di campo magnetico che attraversa la superficie racchiusa dal percorso.
- La terza equazione di Maxwell riguarda il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa. In questo caso, come già sappiamo, il flusso di campo magnetico è nullo.
$ Φ_S (vec B) = 0$
Ricordiamo, infatti, che una delle caratteristiche fondamentali dei magneti è il fatto che non è possibile creare un solo polo magnetico, ma in presenza di un polo nord magnetico vi è sempre un polo sud magnetico; per questo, all’interno di una superficie chiusa, i poli magnetici presenti si annullano a vicenda.
La quarta equazione di Maxwell, infine, riguarda la circuitazione del campo magnetico lungo un percorso chiuso; come già sappiamo, nel caso statico la circuitazione è data dalla legge di Ampère, e si ha la seguente formula:
$ Γ_γ (vec B) = μ_0 * i$
mentre nel caso di un campo magnetico indotto, la legge viene modificata mediante l’introduzione di un addendo che rappresenta la corrente di spostamento:
$ Γ_γ (vec B) = μ_0 * (\sum_{j} {i_j} + ε_0 * frac(∆Φ(vec E))(∆t)) $
Notiamo che nella seconda e nella quarta equazione vi è un importante legame tra il campo elettrico e quello magnetico, che non possono più essere considerati come fenomeni indipendenti. per questo, è utile inquadrarli all’interno di un unico ente fisico, a cui viene dato il nome di campo elettromagnetico.
E’ importante sottolineare che le equazioni di Maxwell sopra descritte hanno validità solo nel vuoto; nella materia, infatti, è possibile che siano presenti ulteriori campi elettrici e magnetici che danno luogo a una polarizzazione elettrica e magnetica. In questo caso, quindi, le equazioni andrebbero modificate con nuove ed opportune grandezze fisiche.
Esercizio
Consideriamo un condensatore piano avente delle armature circolari di area $15,5 cm^2$. Tra le armature vi è il vuoto, e la densità superficiale di carica presente su di esse varia da $4,2 * 10^-6 C/m^2$ fino a $4,9 * 10^-6 C/m^2$ in un tempo di $1,50 * 10^-2 s$. Calcolare il valore della corrente di spostamento fra le armature.
Per risolvere il problema abbiamo bisogno di conoscere la variazione del flusso di campo elettrico dovuto alla variazione di densità di carica.
Dalla quarta equazione di Maxwell, infatti, sappiamo che la corrente di spostamento è data dalla formula:
$i_s = ε_0 * frac(∆Φ(vec E))(∆t) $
Ricordiamo che, per definizione, il flusso del campo elettrico attraverso una superficie è dato dal prodotto scalare del vettore campo elettrico per il vettore superficie; in questo caso abbiamo:
$ i_s = ε_0 * frac(∆Φ(vec E))(∆t) = frac(ε_0)(∆t) * [Φ_2(vec E) – Φ_1(vec E)] = $
$= frac(ε_0)(∆t) * [E_2 * S – E_1 * S] $
In un condensatore piano, il campo elettrico all’interno delle armature è dato dal rapporto tra la densità di carica e la costante dielettrica nel vuoto; si ha, quindi:
$ i_s = frac(ε_0)(∆t) * [E_2 * S – E_1 * S] = frac(ε_0)(∆t) * S [E_2 – E_1 ] = $
$ = frac(ε_0)(∆t) * S * [ frac(σ_2)(ε_0) – frac(σ_1)(ε_0)] = frac(S)(∆t) * (σ_2 – σ_1)$
Abbiamo, quindi, tutti i dati necessari per calcolare la corrente di spostamento; sostituiamo i valori numerici ricordando di scrivere le grandezze nelle giuste unità di misura:
$ i_s = frac(S)(∆t) * (σ_2 – σ_1) = frac(15,5 * 10^(-4))(1,50 * 10^(-4)) * (4,9 – 4,2) * 10^(-6) = 7,23 * 10^(-8) A $
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