Il fenomeno dei battimenti
Il fenomeno detto dei battimenti si verifica quando due onde della stessa natura ma con frequenza leggermente diverse, che si propagano all’interno dello stesso mezzo, nella stessa direzione e nello stesso verso, interferiscono tra loro e si sovrappongono.
Possiamo descrivere il fenomeno dei battimenti come delle variazioni periodiche dei picchi massimi e minimi dell’onda risultante; la frequenza di questa nuova onda viene definita frequenza di battimento, e si ottiene come differenza delle frequenze delle onde di partenza.
Consideriamo due onde di questo tipo che possono essere descritte dalle seguenti equazioni:
$f_1 = A sin(k_1 x – ω_1 t)$
$f_2 = A sin(k_2 x – ω_2 t)$
Sommando le equazioni delle precedenti onde, e applicando le formule di prostaferesi per il seno, otteniamo la seguente equazione per l’onda risultante:
$f = 2A cos(frac(x(k_2 – k_1) – t(ω_2 – ω_1))(2)) sin (frac(x(k_2 + k_1) – t(ω_2 + ω_1))(2))$
Considerando una particolare posizione nel mezzo, il valore della funzione dipende esclusivamente dalla variabile temporale.
Per studiare con più facilità questo tipo di equazione, quindi, è conveniente scegliere la posizione iniziale, quella per cui si ha x = 0; in questo caso, l’equazione assume la seguente forma:
$f = – 2A cos(frac(ω_2 – ω_1)(2) t) sin (frac(ω_2 + ω_1)(2) t)$
Esempio
Da questa equazione possiamo notare che l’ampiezza dell’onda risultante non è costante, ma varia nel tempo; possiamo notare questo fenomeno osservando l’esempio seguente:
Consideriamo due onde sonore che hanno frequenze di 40 Hz e 50 Hz, rappresentate in verde e in blu nella prima immagine.
Se ascoltiamo questi due suoni contemporaneamente, si ha una sovrapposizione delle onde, come possiamo vedere dalla seconda immagine.
Il suono che viene percepito dal nostro orecchio non risulta come due suoni distinti, ma come un unico suono di altezza intermedia, e caratterizzato da battimenti.
Questo fenomeno è dovuto al fatto che l’onda risultante presenta una doppia oscillazione, di cui nel primo caso si ha una bassa frequenza; l’argomento del coseno, infatti, presenta la metà della differenza delle pulsazioni delle onde iniziali, che è una quantità piuttosto piccola, perché le frequenze iniziali sono circa uguali.
La seconda oscillazione, invece, è caratterizzata da una frequenza molto maggiore, in quanto l’argomento del seno è dato dalla media delle pulsazioni iniziali.
Notiamo che nel caso in cui la differenza tra le frequenze delle onde iniziali sia elevata, non si verificherebbe più il fenomeno dei battimenti, e il suono risultante viene percepito come due suoni distinti.
L’effetto doppler
Anche l’effetto doppler si manifesta comunemente nel caso di sorgenti sonore; un esempio è il fatto un osservatore fermo sulla strada può capire facilmente, sentendo il suoni di un’ambulanza, se essa è in avvicinamento o in allontanamento dal modo in cui viene percepito il suono della sirena.
L’effetto doppler, quindi, si presenta nel caso in cui la sorgente che emette le onde sia in movimento rispetto il ricevitore, oppure nel caso in cui il ricevitore sia in movimento rispetto alla sorgente, o ancora, se il ricevitore e la sorgente sono in movimento reciproco.
Consideriamo, quindi, il caso più generale in cui l’osservatore e la sorgente sono in moto reciproco lungo la stessa direzione. La frequenza delle onde che viene percepita dall’osservatore può essere calcolata mediante la seguente formula:
$ ν’ = ν * frac(1 + frac(ν_R)(ν_o))(1 – frac(ν_S)(ν_o)) , ν’ = ν * frac(1 – frac(ν_R)(ν_o))(1 + frac(ν_S)(ν_o))$
dove v indica la frequenza dell’onda per una sorgente ferma, percepita da un ricevitore fermo; $v_R$ indica la velocità con cui si sposta il ricevitore, mentre $v_S$ la velocità della sorgente; $v_o$, invece, è la velocità di propagazione dell’onda.
I segni variano in base al moto reciproco sorgente-ricevitore; si hanno i primi segni nel caso in cui la sorgente e il ricevitore sono in avvicinamento.
Casi particolari
Da questa formula generale possiamo ricavare le formule relative ai casi in cui uno dei due tra osservatore e sorgente sia fermo.
Ad esempio, se la sorgente è ferma e il ricevitore si sposta, si avrà che $v_S = 0$, quindi la formula diventa:
$ ν’ = ν * (1 ± frac(ν_R)(ν_o))$
In questo caso, il segno + si ha nel caso in cui l’osservatore si avvicina alla sorgente, in quanto le onde percepite avranno frequenza maggiore.
Se invece è la sorgente che si sposta l’osservatore è in quiete, la formula che fornisce la nuova frequenza di onda è la seguente:
$ ν’ = ν * frac(1)(1 ± frac(ν_S)(ν_o))$
In questo caso, se la sorgente si muove verso il ricevitore vS ha segno negativo.
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