Gli errori di misura: introduzione
Nello studio di un fenomeno fisico, e nella misurazione di una sua caratteristica, la misura che otteniamo non è mai perfettamente accurata, cioè non rispetta mai la vera misura del fenomeno.
Questo accade perché, inevitabilmente, si commettono degli errori di misura, che possono dipendere da vari fattori, quali imprecisione dello strumento, o errori commessi nel procedimento di calcolo.
In fisica, gli errori vengono definiti incertezze; a causa dell’incertezza nella misurazione, possiamo dire che il valore che otteniamo è solamente una stima del valore reale di una grandezza fisica.
Gli errori di misurazione vengono suddivisi in due categorie:
- Gli errori casuali sono quegli errori che vengono in maniera imprevedibile, e il loro avvenire non dipende dalle condizioni in cui si svolge la misura. Questi errori possono influenzare la misura in modo diverso, e imprevedibile, possono cioè stimare maggiormente o minormente la grandezza;
Ad esempio, nella misurazione del tempo di oscillazione di un pendolo, possiamo compiere errori casuali. Infatti, può accadere che, nell’istante iniziale, delle volte si fa partire il cronometro in ritardo, altre volte in anticipo; e nell’istante finale, possiamo fermarlo in ritardo o in anticipo.
Di conseguenza, delle volte avremo un valore minore del reale, altre volte un valore maggiore.
- Gli errori sistematici, invece, producono una modifica prevedibile della misura reale della grandezza, cioè stimano sempre per difetto, o sempre per eccesso, la grandezza fisica che stiamo esaminando. Questi errori possono dipendere dalle qualità dello strumento di misura, da errori di metodo di misurazione, o da errori che commette colui che misura.
Un tipico errore sistematico è l’errore di taratura di uno strumento; se, infatti, tariamo una bilancia con un peso maggiore di quello richiesto, ogni volta che peseremo un oggetto otterremo sempre un peso maggiore di quello reale, e l’errore che si commette avrà sempre lo steso valore.
Mentre nel caso degli errori casuali non possiamo intervenire in nessun modo per migliorare la misura, per gli errori sistematici è possibile ottenere una misura più accurata; possiamo, ad esempio, utilizzare strumenti migliori e più precisi.
Tuttavia, anche in questo caso, il valore della misura non sarà mai totalmente corretto.
Il valore medio
Quando di effettua una misurazione, sapendo che si commettono inevitabilmente degli errori, casuali o sistematici, si può ottenere un valore più accurato della misura se si effettuano più misurazioni e si calcola poi la media dei valori.
In generale, quindi, se si effettua la misura \(n\) volte, e si ottengono i valori \(x_1, x_2, …, x_n \), il valore della misura che si considera è il seguente:
$bar x = frac (x_1 + x_2 + … + x_n )(n) $
Questo valore è quello che più si avvicina al valore reale della grandezza misurata, e la precisione della misura aumenta all’aumentare di n.
L’errore massimo
L’errore massimo può dare un idea dell’errore che di commette nel caso in cui vengano fare più misurazioni. L’errore massimo si ottiene sottraendo al valore massimo il valore minimo delle misurazioni, e dividendo il risultato per due:
$ e_m = frac (x_max – x_min)(2) $
Solitamente, poi, il valore della misura si esprime considerando anche il rispettivo errore; poiché tale errore può approssimare per eccesso o per difetto la misura, il risultato di una misurazione si esprime come il valore medio più o meno l’incertezza:
$bar x$=\( \pm e_m \)
Dobbiamo tenere presente, però, che anche a sensibilità di uno strumento può influenzare il valore della misura. Nel caso in cui sensibilità è nota, si assume come incertezza il più grande tra l’errore massimo e la sensibilità dello strumento.
Esempio:
Supponiamo che, nella misurazione del tempo di oscillazione di un pendolo siano stati ottenuti i seguenti valori:
| Misura | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Valore(s) | 0.75 | 0.57 | 0.69 | 0.48 | 0.82 | 0.55 | 0.65 | 0.62 | 0.59 | 0.42 |
Calcoliamo il valore medio e l’incertezza relativa alla misurazione, ed esprimiamo il risultato considerando che l’incertezza dello strumento è di 0,01 s.
Il valore medio si ottiene sommando i valori delle misure e dividendo tale somma per 10:
$bar x = frac(0,75 + 0,57 + 0,69 + 0,48 + 0,82 + 0,55 + 0,65 + 0,62 + 0,59 + 0,42)(10) = $
$ = frac (6,14)(10) = 0,614 s $
Calcoliamo poi l’errore massimo, sapendo che il valore massimo è di 0,82 s e quello minimo di 0,42 s:
$ e_m = frac(x_max – x_min)(2) = frac(0,82-0,42)(2) = 0,2 $
Poiché l’errore massimo è maggiore della sensibilità dello strumento, esprimiamo il risultato come\( (0,61 ± 0,2) s \).
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