Incertezze ed Errori
Come sappiamo, quando si effettuano delle misurazioni è inevitabile compiere degli errori, che possono essere casuali o sistematici, possono riguardare misurazioni dirette o indirette. Sappiamo, inoltre, che quando esprimiamo il risultato della misurazione, dobbiamo farlo tenendo conto dell’errore commesso.
Vediamo, ora, che in caso di misurazioni indirette, cioè misurazioni che si basano su grandezze non omogenee, l’errore che si commette può essere calcolato in modo differente, in base alle operazioni matematiche che utilizziamo per calcolare la misura.
L’incertezza relativa
Si definisce incertezza relativa (\(e_r\)) il rapporto tra l’incertezza ∆x di una misura, e il valore medio delle misure effettuate:
$ e_r = frac (∆x) (bar x) $
Notiamo che l’incertezza relativa è data dal rapporto tra due grandezze uguali, di conseguenza l’incertezza relativa non ha unità di misura, ed è quindi un numero puro.
Per confrontare due misurazioni, anche se riferite a campioni e a grandezze diverse, e stabilire quale delle due sia la più accurata, è conveniente esprimere l’incertezza relativa in forma percentuale.
L’incertezza percentuale, quindi, si ottiene moltiplicando l’incertezza relativa per 100:
$ e_% = e_r * 100 $
Nel caso in cui l’incertezza ∆x corrisponde all’errore massimo, allora l’errore relativo prende il nome di errore massimo, che può anche essere espresso in forma percentuale, prendendo così il nome di errore percentuale.
Incertezza sulla somma e sulla differenza
Questo tipo di incertezza riguarda tutte le misurazioni che prevedono di sommare o sottrarre tra loro più misurazioni, come per esempio si ha nel calcolo del perimetro di un poligono, o nel calcolo della massa totale di più corpi.
In questo caso, l’incertezza è data dalla somma delle incertezze di ciascuno dei dati sperimentali che vengono sommati o sottratti.
Quindi, se indichiamo con ∆x l’incertezza della misurazione x, e con ∆y l’incertezza della misurazione y, le incertezze corrispondenti alla somma e alla differenza di x ed y sono date da:
\(∆(x+y) = ∆(x-y) = ∆x + ∆y \)
Esempio
Supponiamo di aver misurato il peso di tre masse, e abbiamo ottenuto i seguenti valori:
$ m_1 = (3,54 pm 0,03) kg $
$ m_2 = (1,04 pm 0,01) kg $
$ m_3 = (2,86 pm 0,02) kg $
Il valore della massa totale si ottiene sommando i pesi delle tre masse:
$ m_tot = m_1 + m_2 + m_3 = (3,54 + 1,04 + 2,86) kg = 7,44 kg $
Mentre l’incertezza relativa alla massa totale si ottiene come somma delle incertezze delle tre masse iniziali:
\( (0,03 + 0,01 + 0,02) kg = 0,06 kg \)
Quindi, il risultato finale correttamente espresso è di $ (7,44 pm 0,06) kg $
Incertezza sul prodotto e sul quoziente
L’incertezza sul prodotto e sul quoziente riguarda tutte quelle misurazioni in cui è necessario moltiplicare o dividere tra loro più grandezze, per esempio nel caso in cui dobbiamo calcolare aree di figure piane, o volumi di solidi.
In generale, l’incertezza relativa sul prodotto o sul quoziente di determina come somma delle incertezze relative delle singole misure.
Quindi, se indichiamo con ∆x l’incertezza della misurazione x, e con ∆y l’incertezza della misurazione y, l’incertezza relativa del prodotto e del quoziente è data dalla somma delle incertezze relative delle singole misurazioni:
$ ∆(xy) = ∆(frac(x)(y) )= frac(∆x)(bar x) + frac (∆y) ( bar y) $
Esempio
Calcoliamo l’area di un rettangolo sapendo che i suoi lati misurano, rispettivamente:
$ a = (36,4 pm 1,2) cm $
$ b = (13,3 pm 0,7) cm $
Per prima cosa, calcoliamo il valore
dell’area moltiplicando le misure dei lati:
$ A = a * b = 36,4 cm * 13,3 cm = 484,12 cm^2 $
Ora, determiniamo l’incertezza relativa riferita a ciascun lato, dividendo l’errore per la misura del lato corrispondente:
$ e_r (a) = frac(1,2)(36,4) = 0,033 $
$ e_r (b) =frac( 0,7)(13,3) = 0,053 $
Poiché stiamo moltiplicando le misure dei lati, l’errore relativo all’area del rettangolo è dato dalla somma degli errori relativi ai singoli lati, quindi avremmo che:
\( e_r (A) = e_r (a) + e_r (b) = 0,033 + 0,053 = 0,086 \)
Sapendo che l’errore relativo all’area è dato dal rapporto tra l’incertezza e il valore dell’area, possiamo ricavare l’incertezza di A:
$ e_r (a) = frac (i_A)(A) \rightarrow i_A = e_r (A) * A $
Sostituendo i dati si ottiene:
$ i_A = e_r (A) * A = 0,086 * 484,12 cm^2 = 41,63 cm^2 $
Quindi, esprimiamo correttamente il valore dell’area, con la rispettiva incertezza:
$ A = (484,12 pm 41,63) cm^2 $
Dalle considerazioni fatte, possiamo dedurre che nel caso di misurazioni indirette, l’errore che si commette è sempre maggiore rispetto alle misurazioni dirette.
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