Scheda che introduce il concetto di insieme delle parti, corredata di diversi esempi.
L’insieme delle parti
Preso un insieme \( A \), ci si può chiedere quali siano tutti i suoi sottoinsiemi.
Esempio
Preso l’insieme \( V \) delle vocali
\( V = \{a, e, i , o, u\} \)
i suoi sottoinsiemi sono
\( \varnothing\ \ \ \{a\},\{e\},\{i\},\{o\},\{u\}\ \ \ \{a,e\},\{a, i\},\{a,o\}, \{a,u\},\{e,i\},\)
\(\{e,o\},\{e,u\},\{i,o\},\{i,u\},\{o,u\}\ \ \ \{a,e,i\},\{a,e,o\},\{a,i,o\},\{a,i,u\},\{a,o,u\},\)
\(\{e,i,o\},\{e,i,u\},\{e,o,u\},\{i,o,u\}\ \ \ \{a,e,i,o\},\{a,e,i,u\},\{a,e,o,u\},\{a,i,o,u\},\)
\(\{e,i,o,u\}\ \ \ V \)
Esiste un insieme, chiamato insieme delle parti di \( V \), che li contiene tutti.
Definizione
Preso un insieme \( A \), si definisce insieme delle parti l’insieme \( \wp(A) \) che contiene tutti e soli i sottoinsiemi di \( A \), ovvero quell’insieme i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di \( A \).
La rappresentazione dell’insieme delle parti
Rappresentazione per elencazione
È la più usata, e consiste nello scrivere all’interno di una coppia di parentesi graffe uno alla volta tutti i sottoinsiemi dell’insieme considerato.
Esempio 1
Riprendendo l’esempio precedente, la sua rappresentazione per elencazione si scrive così:
\( \wp(V) = \big\{\varnothing,\{a\},\{e\},\{i\},\{o\},\{u\},\{a,e\},\{a, i\},\{a,o\},\{a,u\},\{e,i\},\)
\(\{e,o\},\{e,u\},\{i,o\},\{i,u\},\{o,u\},\{a,e,i\},\{a,e,o\},\{a,i,o\},\{a,i,u\},\{a,o,u\},\{e,i,o\},\)
\(\{e,i,u\},\{e,o,u\},\{i,o,u\},\{a,e,i,o\},\{a,e,i,u\},\{a,e,o,u\},\{a,i,o,u\},\{e,i,o,u\},V\big\} \)
Esempio 2
Se si prende in considerazione l’insieme vuoto, si scrive:
\( \{\varnothing\} = \{\varnothing\} \)
Rappresentazione mediante i diagrammi di Eulero-Venn
Si rappresentano all’interno di un insieme, che è appunto l’insieme delle parti, i vari sottoinsiemi dell’insieme considerato
Esempio
Se si prende in considerazione l’insieme delle cifre del codice binario \( B = \{0,1\} \), si ha il seguente diagramma di Eulero-Venn:
Rappresentazione per proprietà caratteristica
Se si prende in considerazione un insieme \( A \), si scrive:
\( \wp (A) = \{ B \in U \vee B \subseteq A \} \)
dove \( U \) è l’insieme universo.
Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme finito?
Preso in considerazione un insieme finito \( A \), esso avrà un numero finito di elementi. Se il numero degli elementi è \( n \), si può scrivere
\( | A | = n \)
Teorema
Il numero di sottoinsiemi di un insieme \( A \) che ha \( n \) elementi è \( 2^n \)
Osservazione: Poiché l’insieme delle parti di un insieme \( A \) è l’insieme dei sottoinsiemi di \( A \), il numero di sottoinsiemi di \( A \) è proprio la cardinalità di \( ( A ) \).
Il teorema precedente si può dimostrare facilmente nel seguente modo:
Dimostrazione
Presi tutti gli elementi di \( A \), ci si può chiedere per ognuno di essi se appartiene o meno a un determinato sottoinsieme di \( A \): per ogni elemento si possono avere due possibilità, o appartiene o non appartiene.Si hanno pertanto in totale:
\( 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2 = 2^n \)
cioè 2 moltiplicato n volte.
Materiale di supporto
Esercizi
- Trovare la cardinalità dell’insieme delle parti,delle parti,delle parti dell’insieme vuoto
- Dato l’ insieme A={x|x è un divisore di 15}, indica se fra i seguenti insiemi vi sono sottoinsiemi di A
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