Definizione di determinante e casi elementari

Definizioni

Ad ogni matrice quadrata $A$ viene assegnata una quantità numerica, detta determinante, che si indica con uno qualsiasi dei due simboli $\detA$, \(\left|A\right|\). Per tutta la durata di questa scheda supporremo che le matrici in esame siano quadrate.

Definizione 1: Determinante di una matrice di ordine 1.
Sia data una matrice quadrata $A=(a_{11})$ di ordine 1, costituita cioè da un solo elemento. In questo caso il determinante di $A$ coincide con detto elemento, ovvero $\detA=a_{11}$.

Definizione 2: Minore complementare.
Sia data una matrice quadrata $A$ di ordine $n>1$, e sia $a_{jk}$ un suo elemento. Si chiama minore complementare di $a_{jk}$ il determinante della matrice quadrata di ordine $n-1$ che si ottiene da $A$ sopprimendo la $j$-esima riga e la $k$-esima colonna.

Esempio 1: Si consideri la generica matrice $A$ di ordine 4 ed il suo elemento $a_{23}$. Il minore complementare di $a_{23}$ è il determinante della matrice $B$ di ordine 3 ottenuta da $A$ tramite la soppressione degli elementi rossi

\[
\begin{array}{ccc}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \color{red}a_{\color{red}1\color{red}3} & a_{14} \\
\color{red}a_{\color{red}2\color{red}1} & \color{red}a_{\color{red}2\color{red}2} & \mathbf{\color{red}a_{\color{red}2\color{red}3}} & \color{red}a_{\color{red}2\color{red}4} \\
a_{31} & a_{32} & \color{red}a_{\color{red}3\color{red}3} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & \color{red}a_{\color{red}4\color{red}3} & a_{44} \\
\end{pmatrix} & \rightarrow &
B=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{14} & \\
a_{31} & a_{32} & a_{34} & \\
a_{41} & a_{42} & a_{44} & \\
\end{pmatrix}
\end{array}
\]

Definizione 3: Complemento algebrico.
Sia data una matrice quadrata $A$ di ordine $n>1$, e sia $a_{jk}$ un suo elemento. Si chiama complemento algebrico di $a_{jk}$ e si indica col simbolo $A_{jk}$ il minore complementare di $a_{jk}$ moltiplicato per la quantità $(-1)^{j+k}$.

Esempio 2: Nello stesso caso dell’esempio 1, possiamo dire che il complemento algebrico di $a_{23}$ è $A_{23}=-\det B$. Infatti in questo caso la quantità $j+k=2+3=5$ è dispari, e $-1$ elevato a un numero dispari fa ancora $-1$.

Osservazione 1: Se la quantità $j+k$ è pari, il complemento algebrico di $a_{jk}$ coincide con il suo minore complementare; se invece $j+k$ è dispari, il complemento algebrico di $a_{jk}$ è il suo minore complementare cambiato di segno.

Definizione 4: Determinante di una matrice di ordine $n>1$.
Il determinante di una matrice quadrata di ordine $n>1$ è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna per i rispettivi complementi algebrici.

Osservazione 2: Il determinante si definisce in maniera ricorsiva: ciò significa che si dà un modo diretto per calcolarlo valido per le matrici di ordine 1, mentre per la generica matrice di ordine $n$ il calcolo si può ricondurre a quello di determinanti di matrici di ordine via via più basso, fino a giungere al primo. Infatti il calcolo dei complementi algebrici degli elementi di una riga o una colonna di una matrice di ordine $n$ consiste nel calcolo di al più $n-1$ determinanti di matrici di ordine $n-1$.

Determinanti di matrici 2×2

Metodo per le matrici di ordine 2. Consideriamo una generica matrice di ordine 2:
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{pmatrix}
\]
In virtù della definizione 4, che è l’unica applicabile in quanto l’ordine di $A$ è maggiore di 1, per calcolare $\detA$ dovremo scegliere in primo luogo una linea della matrice, ovvero una sua riga o una sua colonna. Tipicamente, onde semplificare i calcoli, si sceglie la linea con più zeri; nel nostro caso generico sceglieremo la prima riga. Avremo allora:
\[
\det A=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}
\]
$A_{11}$, essendo il complemento algebrico di $a_{11}$, è pari a $(-1)^{1+1}\det(a_{22})$; similmente, per $A_{12}$ avremo la formula $(-1)^{1+2}\det(a_{21})$. In effetti, le matrici $(a_{22})$ e $(a_{21})$, quadrate di ordine 1, sono proprio quelle ottenute da $A$ sopprimendo le linee indicate dagli indici di $a_{11}$ e $a_{12}$ rispettivamente. In ultimo avremo
\[
\det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\]
ricordando la definizione 1 per calcolare $\det(a_{22})$ e $\det(a_{21})$. A quanto pare, il calcolo del determinante di una matrice quadrata qualsiasi di ordine 2 si riduce al prodotto degli elementi della diagonale principale diminuito del prodotto degli elementi della diagonale secondaria.

Osservazione 3: Il risultato testé ottenuto sarebbe stato identico qualora, in luogo della prima, avessimo scelto la seconda riga o una qualsiasi delle colonne. Questo fatto, che si dimostra facilmente per la matrici di ordine 2, si può provare in generale adoperando le proprietà dei determinanti.

Esempio 3: Si calcoli il determinante della matrice
\[
A=\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
6 & 2 \\
\end{pmatrix}
\]
Grazie alla formula appena ottenuta, potremo scrivere direttamente
\[
\det A=3\cdot 2-1\cdot 6=6-6=0
\]
Se per esempio avessimo scelto di sviluppare tale determinante rispetto alla prima colonna avremmo invece dovuto scrivere
\[
\det A=a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}=3\cdot 2-6\cdot 1=0
\]
ottenendo al fine lo stesso risultato, come da osservazione 3.

 

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