Operazioni con le matrici

Definizioni delle operazioni tra matrici e proprietà elementari

Definizione 1: Somma di matrici.
Date due matrici $A$ e $B$ entrambe di tipo $(m,n)$, si chiama somma di $A$ e $B$ e si indica col simbolo $A+B$ quella matrice di tipo $(m,n)$ i cui elementi sono la somma degli elementi omologhi di $A$ e $B$.
\[
\begin{aligned}
&\begin{array}{cc}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix} &
B=\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{pmatrix}
\end{array} \\
&\begin{array}{c}
& \\
A+B=\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \\
\end{pmatrix}
\end{array}
\end{aligned}
\]
Osservazione 1: La differenza di due matrici dello stesso tipo $A$ e $B$ si definisce, usando la definizione 1, come la somma di $A$ con $-B$, cioè con la matrice opposta di $B$.

Osservazione 2: La somma di una matrice e della sua opposta dà come risultato la matrice nulla, indipendentemente dal numero di righe e colonne degli addendi.

Definizione 2: Prodotto di una matrice per uno scalare.
Dati un numero reale $r$ e una matrice $A$, si chima prodotto di $A$ per lo scalare $r$ e si indica con $rA$ quella matrice, dello stesso tipo di $A$, i cui elementi sono i prodotti per degli elementi omologhi di $A$.
\[
rA=\begin{pmatrix}
ra_{11} & ra_{12} & \cdots & ra_{1n} \\
ra_{21} & ra_{22} & \cdots & ra_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
ra_{m1} & ra_{m2} & \cdots & ra_{mn} \\
\end{pmatrix}
\]
Osservazione 3: Il prodotto di una qualsiasi matrice $A$ per $r=-1$ dà come risultato $-A$, la matrice opposta di $A$; il prodotto di $A$ con $r=0$ dà la matrice nulla.

Definizione 3: Prodotto scalare di un vettore riga per un vettore colonna.
Dati un vettore riga $u$ ed un vettore colonna $v$ con lo stesso numero di elementi, si chiama prodotto scalare di $u$ per $v$ e si indica con il numero reale $u\cdot v$ che si ottiene sommando gli $n$ prodotti i cui fattori sono gli elementi omologhi di $u$ e $v$.
\[
\begin{array}{cc}
u=\begin{pmatrix}
u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n}
\end{pmatrix}, &
v=\begin{pmatrix}
v_{11} \\
v_{21} \\
\vdots \\
v_{n1} \\
\end{pmatrix}
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{cc}
\begin{aligned}
&u\cdot v=u_{11}v_{11}+u_{12}v_{21}+\ldots+u_{1n}v_{n1} & \Leftrightarrow \\
&u\cdot v=\sum_{j=1}^{n}u_{1j}v{j1} &
\end{aligned}
\end{array}
\]

Osservazione 4: Dati due vettori $u$ e $v$ con lo stesso numero di elementi, si può comunque definire il loro prodotto scalare assumendo, come di solito si fa, che il primo sia scritto come vettore riga e il secondo come vettore colonna. Il risultato dell’operazione, $u\cdot v$, si legge pure “$u$ scalato con $v$”.

Definizione 4: Prodotto righe per colonne.
Date una matrice $A$ di tipo $(m,t)$ e una matrice $B$ di tipo $(t,n)$, si chiama prodotto righe per colonne di $A$ per $B$ o prodotto matriciale di $A$ per $B$ e si indica con $A\cdot B$ quella matrice $R$ di tipo $(m,n)$ il cui elemento generico $r_{ik}$ è il prodotto scalare dell’-$i$esima riga di $A$ con la $k$-esima colonna di $B$.
\[
\begin{aligned}
&\begin{array}{cc}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1t} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2t} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mt} \\
\end{pmatrix}, &
B=\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{t1} & b_{t2} & \cdots & b_{tn} \\
\end{pmatrix} \\
\end{array} \\
&\begin{array}{cc}
& \\
A\cdot B=R=\begin{pmatrix}
r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1n} \\
r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
r_{m1} & r_{m2} & \cdots & r_{mn} \\
\end{pmatrix}, & \mbox{con}\; r_{\color{red}i\color{red}k}=\displaystyle\sum_{\color{green}j=1}^{t}a_{\color{red}i\color{green}j}b_{\color{green}j\color{red}k} \\
\end{array}
\end{aligned}
\]

Osservazione 5: La definizione 4 è ben posta, perché infatti comunque si scelgano $i$ e $k$ l’$i$-esima riga di $A$ e la $k$-esima colonna di $B$ sono vettori di lunghezza $t$, e quindi si può effettuare il loro prodotto scalare secondo la definizione 3.

Osservazione 6: Quando si effettua il prodotto scalare di $A$ e $B$, gli elementi del vettore riga $a$ variano “orizzontalmente”, cioè con il secondo indice, mentre quelli del vettore colonna variano “verticalmente”, ovvero col primo indice. Ne risulta che nel calcolo di $r_{ik}$ gli indici $i$ e $k$, indicati in rosso, restano fissi, mentre l’indice $j$, colorato in verde, varia tra $1$ e $t$.

Osservazione 7: La definizione 4 estende la definizione 3, nel senso che se le matrici $A$ e $B$ sono rispettivamente un vettore riga e un vettore colonna il loro prodotto scalare coincide con il loro prodotto righe per colonne. Quest’ultimo si può effettuare in quanto $A$ è del tipo $1,t$ e $B$ è del tipo $(t,1)$; il risultato è una matrice $(1,1)$, cioè contenente un solo elemento, e in questo caso si assume che tali due oggetti, in principio diversi, coincidano.

 

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