Probabilita composta e condizionata: formule ed esempi

Definizioni

Definizione 1: Probabilità composta.

Siano dati $n$ eventi $E_1, E_2, …, E_n$. Si definisce probabilità composta di $E_1, E_2, …, E_n$  e si indica con il simbolo \(P(E_1 \cap E_2 \cap \ldots \cap E_n)\) la probabilità che si verifichino tutti gli $n$ eventi considerati contemporaneamente.

Definizione 2: Probabilità condizionata.

Siano dati 2 eventi $E_1$ ed $E_2$ compatibili e dipendenti. Si definisce probabilità condizionata di $E_2$ al verificarsi di $E_1$ e si indica con il simbolo \(P(E_2/E_1)\) la probabilità che si verifichi $E_2$ una volta che $E_1$ si è già verificato.

Formula 1: Probabilità composta di due o più eventi compatibili indipendenti.

Siano dati $n$ eventi compatibili indipendenti $E_1, E_2, …, E_n$. La loro probabilità composta si calcola usando la formula seguente: \[ P(E_1 \cap E_2 \cap \ldots \cap E_n) = \prod_{i=1}^n P(E_i) \]

In particolare, se gli eventi compatibili indipendenti sono solo due la formula si riduce a

\[ P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)P(E_2) \]

Formula 2: Probabilità composta di due eventi compatibili dipendenti.

Siano dati 2 eventi compatibili dipendenti $E_1$ ed $E_2$. La loro probabilità composta si calcola usando questa formula: \[ P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)P(E_2/E_1) \]

Osservazione 1: La definizione 2 di probabilità condizionata si dà solo nel caso in cui i due eventi in questione sono compatibili e dipendenti, perché negli altri casi essa restituirebbe risultati banali. Se $E_1$ ed $E_2$ sono incompatibili, una volta che si è verificato $E_1$, $E_2$ non potrà più verificarsi, cosicché \(P(E_2/E_1) = 0\). Qualora invece avessimo che $E_1$ ed $E_2$ sono sì compatibili, ma indipendenti, allora in virtù solo della definizione di eventi indipendenti abbiamo che P(E_2/E_1), ovvero la probabilità di $E_2$ non risulta modificata dal fatto che $E_1$ si è già verificato.

Osservazione 2: Per quanto appena osservato, la formula 1 non è che un caso particolare della formula 2 in cui, essendo $E_1$ ed $E_2$ indipendenti, abbiamo che \(P(E_2/E_1) = P(E_2)\).

 

Esempi

Esempio 1: Supponiamo di estrarre due carte da gioco da un mazzo di carte francesi, avendo cura di reinserire nel mazzo la prima carta dopo l’estrazione; consideriamo i due seguenti eventi:

$E_1$:  “la prima carta estratta è un sette”

$E_2$:  “la seconda carta estratta non è di picche”

Calcoliamo la probabilità composta dei due eventi.

Poiché, come ben precisato nel testo dell’esercizio, le carte estratte vengono rimesse nel mazzo, i due eventi sono necessariamente compatibili e indipendenti; infatti la prima carta estratta non ha nessun modo di influenzare la seconda. Non dobbiamo far altro che usare la formula 1:

\( P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)P(E_2) = \frac{4}{52}\cdot\frac{39}{52}=\frac{3}{52} \)

Esempio 2: Una signora ha due figli di età diverse. Sapendo che la maggiore è femmina, calcolare la probabilità che essi siano di due sessi diversi.

In questo esempio non viene precisato quali siano gli eventi in questione; ragionando un poco possiamo supporre che essi siano i seguenti:

$E_1$:  “il primo figlio è femmina”

$E_2$:  “i due figli sono un maschio e una femmina”

Ora, è chiaro che \(P(E_1)=P(E_2)=1/2\). Infatti la probabilità che il primo figlio sia femmina è naturalmente una su due; inoltre, considerate tutte le 4 diverse combinazioni dei sessi dei figli (MM,MF,FM,FF), solo 2 di queste sono “miste” (MF, FM) e quindi soddisfano l’evento $E_2$. Ciò che vogliamo calcolare è la probabilità di $E_2/E_1$, ovvero semplicemente una probabilità condizionata.

Una volta esclusa la possibilità che il primo figlio sia maschio, i casi che possono verificarsi nel secondo evento sono solo (FM,FF), e di questi solamente (FM) è favorevole. La probabilità composta è allora \(P(E_2/E_1) = 1/2\). Si osservi che il fatto che essa sia uguale a \(P(E_2)\) è da ascriversi a casualità, come dimostra l’esempio seguente.

Esempio 3: Una signora ha due figli di età diverse. Sapendo che uno di essi è femmina, calcolare la probabilità che essi siano di due sessi diversi.

Come spesso capita in probabilità, una variazione apparentemente irrilevante del testo cambia del tutto ragionamenti e risultati. La probabilità che vogliamo calcolare è ancora \(P(E_2/E_1)\), ma stavolta l’evento 1 è

$E_1$:  “uno dei due figli è femmina”

e non è quindi necessariamente cronologicamente precedente al secondo, come lo era nell’esempio 2. La differenza sta nel fatto che, in base alle informazioni fornite dall’evento $E_1$, questa volta non possiamo più escludere la combinazione (MF) come facevamo prima. I casi possibili per \(E_2/E_1\) sono (MF, FM, FF), di cui due (MF, FM) sono favorevoli; ne deduciamo che la probabilità condizionata stavolta è, contro ogni aspettativa, \(P(E_2/E_1) = 2/3\).

 

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Esercizio proposto

Si estraggono da un’urna di 90 numeri 5 numeri senza reintroduzione (tipo l’enalotto). Dati i 2 eventi:

A = “vinco alla prima estrazione”
B = “vinco alla seconda estrazione” (settimana successiva)

Devo calcolare la probabilita’ di fare cinquina alla seconda estrazione dato che ho perso la prima.

Puoi trovare la soluzione nella sezione Probabilità e statistica del forum di Matematicamente.it.

 

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