Laboratorio informatico con Cabri

radiant_guy-islamic_geomtry.jpgSi farà uso delle abilità acquisite sul concetto di equiscomponibilità per verificare i Teroremi di Euclide e il Teorema di Pitagora in modo che gli allievi ne arrivino a capire gli enunciati più chiaramente. Completeremo il discorso sull’equiscomponibilità verificando che, grazie ai teoremi di Euclide, è possibile costruire un quadrato che ha la stessa area di un rettangolo dato. Questa tesi partecipa al concorso Condividi la tua tesi e vinci tre Apple iPhone 3G

INTRODUZIONE

Quando si considerano solo segmenti o angoli la congruenza, la sovrapponibilità e l’uguaglianza estensiva (o equivalenza) si identificano. Ma per le superfici poligonali?

Euclide, considerando il concetto di area come primitivo, fonda la sua teoria dell’equivalenza dei poligoni su alcuni postulati:

 poligoni uguali sono equivalenti

 poligoni equivalenti ad uno stesso sono equivalenti fra loro

 somme di poligoni equivalenti sono equivalenti

 differenze di poligoni equivalenti sono equivalenti

 un poligono non è equivalente ad una sua parte Ma perché l’uguaglianza di estensione possa essere oggetto di studio rigoroso, è necessaria un’analisi approfondita, che manca in Euclide e fu compiuta soltanto in tempi recenti.

Diversi furono i matematici che si impegnarono a costruire una teoria della equivalenza di poligoni fino a giungere a dimostrare

 Due poligoni equivalenti si dicono equivalenti se sono scomponibili in poligoni rispettivamente congruenti

 L’equivalenza gode della proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva E da questi derivano i teoremi che ci permettono di stabilire in quali casi due poligoni hanno la stessa area:

 Due parallelogrammi aventi un lato in comune e i lati opposti a questo contenuti in una stessa retta, sono equiscomponibili. Da questo come caso particolare si ha che dato un parellelogramma, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area.

 Dato un triangolo, è possibile costruire un parallelogramma con la stessa area che ha per base la metà della sua base ed uguale altezza. Da cui ovviamente segue che dato un triangolo, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area.

 Dato un poligono, è possibile costruire un poligono equivalente con un lato in meno.

 Dato un poligono convesso, è possibile costruire un rettangolo con la stessa area

 Teorema dello gnomone: dato un rettangolo, è possibile costruire un altro rettangolo con la stessa area e avente un lato assegnato.

 Dato un qualsiasi poligono, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area e con un lato assegnato.

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