Verificare la seguente identità, eventualmente condizionandola, tenendo conto delle formule di addizione e sottrazione.
$ cos(π/3 + alpha) sin(π/6 – alpha) – sin(2/3 π – alpha) sin(π/3 + alpha) = – sqrt3 sin(alpha) cos(alpha) – frac(cos^2(alpha) – sin^2(alpha))(2) $
Svolgimento
Nello svolgimento, lavoriamo con l’espressione del primo membro, cercando di modificarla per renderla uguale a quella del secondo.
Procediamo applicando le formule di addizione e sottrazione del seno e del coseno, ricordando che:
$ sin(alpha + beta) = sin(alpha) cos(beta) + cos(alpha) sin(beta) $
$ sin(alpha – beta) = sin(alpha) cos(beta) – cos(alpha) sin(beta) $
$ cos (alpha + beta) = cos(alpha) cos(beta) – sin(alpha) sin(beta) $
$ cos (alpha – beta) = cos(alpha) cos(beta) + sin(alpha) sin(beta) $
Quindi abbiamo:
$ [cos(π/3)cos(alpha) – sin(π/3)sin(alpha) ] [sin(π/6)cos(alpha) – cos(π/6)sin(alpha)] – [sin(2/3 π)cos(alpha) – cos(2/3 π)sin(alpha)] [sin(π/3)cos(alpha) + cos(π/3)sin(alpha)] $
$ [1/2 cos(alpha) – frac(sqrt3)(2) sin(alpha) ] [1/2cos(alpha) – frac(sqrt3)(2) sin(alpha)] – [frac(sqrt3)(2) cos(alpha) + 1/2 sin(alpha)] [frac(sqrt3)(2) cos(alpha) + 1/2 sin(alpha)] $
Notiamo che al primo membro abbiamo due quadrati:
$ [1/2 cos(alpha) – frac(sqrt3)(2) sin(alpha) ]^2 – [frac(sqrt3)(2) cos(alpha) + 1/2 sin(alpha)]^2 $
Svolgiamo i quadrati:
$ (1/2 cos(alpha))^2 + (frac(sqrt3)(2) sin(alpha))^2 – 2*1/2*cos(alpha) * frac(sqrt3)(2) sin(alpha)- [(frac(sqrt3)(2) cos(alpha))^2 + (1/2 sin(alpha))^2 + 2 * frac(sqrt3)(2) cos(alpha) * frac(1)(2) sin(alpha)] = $
$ 1/4 cos^2(alpha) + 3/4 sin^2(alpha) – frac(sqrt3)(2) sin(alpha) cos(alpha) – [ 3/4 cos^2(alpha) + 1/4 sin^2(alpha) + frac(sqrt3)(2) cos(alpha) sin(alpha)] = $
$ 1/4 cos^2(alpha) + 3/4 sin^2(alpha) – frac(sqrt3)(2) sin(alpha) cos(alpha) – 3/4 cos^2(alpha) – 1/4 sin^2(alpha) – frac(sqrt3)(2) cos(alpha) sin(alpha) $
Calcoliamo il minimo comune multiplo al primo membro:
$ 1/4 {cos^2(alpha) + 3sin^2(alpha) – 2sqrt3 sin(alpha) cos(alpha) – 3 cos^2(alpha) – sin^2(alpha) – 2 sqrt3 cos(alpha) sin(alpha)} $
Sommiamo:
$ 1/4 { 2 sin^2(alpha) – 2 cos^2(alpha) – 4 sqrt3 cos(alpha) sin(alpha) } $
Sdoppiamo il primo membro, in modo da ricondurlo alla forma del secondo:
$ 1/4 { 2 sin^2(alpha) – 2 cos^2(alpha)} – 1/4 {4 sqrt3 cos(alpha) sin(alpha) } $
Semplifichiamo:
$ 1/2 { sin^2(alpha) – cos^2(alpha)} – sqrt3 cos(alpha) sin(alpha) $
Cambiamo segno alla prima frazione:
$ – 1/2 { – sin^2(alpha) + cos^2(alpha)} – sqrt3 cos(alpha) sin(alpha) $
Tale espressione è equivalente a quella del secondo membro, quindi abbiamo ottenuto un’identità.